Tìm GTLN của xy biết \(x+y=\sqrt{k}\) với x, y, k > 0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LT
0
TN
0
G
14 tháng 5 2019
Ta có: \(x+y+z=1\Rightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x+yz}=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\\\sqrt{y+xz}=\sqrt{y\left(x+y+z\right)+xz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\\\sqrt{z+xy}=\sqrt{z\left(x+y+z\right)+xy}=\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\end{cases}}\)
Ta viết lại A
\(A=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}+\sqrt{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}\)
Áp dụng bđt AM-GM:
\(A\le\frac{x+y+x+z+x+y+y+z+y+z+x+z}{2}=2\)
\("="\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)
14 tháng 5 2019
\(x+yz=x\left(x+y+z\right)+yz\)
\(=x^2+xy+xz+yz\)
\(=x\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)=\left(x+z\right)\left(x+y\right)\)
+ Tương tự : \(y+xz=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\)
\(z+xy=\left(x+z\right)\left(y+z\right)\)
+ Theo bđt AM-GM : \(\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\le\frac{x+y+x+z}{2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\le\frac{2x+y+z}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x+y=x+z\Leftrightarrow y=z\)
+ Tương tự ta cm đc :
\(\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\le\frac{x+2y+z}{2}\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=z\)
\(\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\le\frac{x+y+2z}{2}\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y\)
Do đó : \(A\le\frac{4\left(x+y+z\right)}{2}=2\)
A = 2 \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)
Vậy Max A = 2 \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)
1 tháng 5 2019
\(A=\frac{\sqrt{xy}}{z+2\sqrt{xy}}+\frac{\sqrt{yz}}{x+2\sqrt{yz}}+\frac{\sqrt{zx}}{y+2\sqrt{zx}}\)
\(2A=\frac{z+2\sqrt{xy}}{z+2\sqrt{xy}}-\frac{z}{z+2\sqrt{xy}}+\frac{x+2\sqrt{yz}}{x+2\sqrt{yz}}-\frac{x}{x+2\sqrt{yz}}+\frac{y+2\sqrt{zx}}{y+2\sqrt{zx}}-\frac{y}{y+2\sqrt{zx}}\)
\(=3-\left(\frac{x}{x+2\sqrt{yz}}+\frac{y}{y+2\sqrt{zx}}+\frac{z}{z+2\sqrt{xy}}\right)\le3-\left(\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}\right)\)
\(=3-\frac{x+y+z}{x+y+z}=3-1=2\)\(\Leftrightarrow\)\(A\le\frac{2}{2}=1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z\)
...
DV
0
12 tháng 11 2018
\(A=\frac{1}{\sqrt{x^2-xy+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{y^2-yz+z^2}}+\frac{1}{\sqrt{z^2-zx+x^2}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(x-y\right)^2+\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(y-z\right)^2+\frac{1}{2}\left(y^2+z^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(z-x\right)^2+\frac{1}{2}\left(z^2+x^2\right)}}\)
\(\le\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(y^2+z^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(z^2+x^2\right)}}\)
\(\le\frac{2}{x+y}+\frac{2}{y+z}+\frac{2}{z+x}\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
LB
1
24 tháng 5 2019
Ta cá:\(K=x^2-2\times x-y=x^2-\left(2\times x+y\right)\)
Để K đạt GTLN
Suy ra x^2 lớn nhất nên x lớn nhất
2x+y nhỏ nhất nên y nhỏ nhất(2x Ko nhỏ nhất vi x lớn nhất nên 2x lớn nhất)
Mà \(y\ge0\)
Ta chọn y=0,thay vào 2x+y ta đc
\(2\times x+0\le4\)
\(\Rightarrow2\times x\le4\)
\(\Rightarrow x\le2\)
Mà x lớn nhất nên ta chọn x=2 do đá k sẽ bằng
\(K=2^2-2\times2-0=4-4=0\)
Vậy K đạt GTLN là 0 tại x =2 và y=0
nhớ h cho mk nha
Ta có: \(\left(x-y\right)^2\ge0\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Rightarrow xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{k}{4}=\text{hằng số }\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y.
Vậy GTLN của xy là k/4
Ta có : ( x - y )2 > 0 => ( x +y ) 2 > 4xy
=> < \(\left(\frac{x+y^2}{4}=\frac{k}{4}=\right)\) hằng số dấu ''='' xảy ra khi x= y
Vậy GTLN của xy là \(\frac{k}{4}\)