Cho hiinhf vuông ABCD , M thuộc đường chéo BD . Kẻ ME vuông góc với AB , MF vuông góc với AD .a) Chứng minh DE=CF , DE vuông góc với CFb)Chứng minh DE, BF , MC đồng quyc) Tìm vị trí của M trên BD để Diện tích AEMF đạt giá trị lớn nhất ? A B C D M E F N H ...
Đọc tiếp
Cho hiinhf vuông ABCD , M thuộc đường chéo BD . Kẻ ME vuông góc với AB , MF vuông góc với AD .
a) Chứng minh DE=CF , DE vuông góc với CF
b)Chứng minh DE, BF , MC đồng quy
c) Tìm vị trí của M trên BD để Diện tích AEMF đạt giá trị lớn nhất ?
a. Dễ thấy AEM F là hình chữ nhật => AE = FM
Dễ thấy tg DFM vuông cân tại F => FM = DF
=> AE = DF => tg vuông ADE = tg vuông DCF ( AE = DF; AD = DC) => DE = CF
tg vuông ADE = tg vuông DCF => ^ADE = ^DCF => DE vuông góc CF (1) ( vì đã có AD vuông góc DC)
b) Tương tự câu a) dễ thấy AF = BE => tg vuông ABF = tg vuông BCE => ^ABF = ^BCE => BF vuông góc CE ( vì đã có AB vuông góc BC) (2)
Gọi H là giao điểm của BF và DE
Từ (1) ở câu a) và (2) => H là trực tâm của tg CEF
Mặt khác gọi N là giao điểm của BC và MF. dễ thấy CN = DF = AE: MN = EM = A F => tg vuông AEF = tg vuông CMN => ^AEF = ^MCN => CM vuông góc EF ( vì đã có CN vuông góc AE) => CM là đường cao thuộc đỉnh C của tg CE F => CM phải đi qua trực tâm H => 3 đường thẳng DE;BF,CM đồng quy tại H
c) Dễ thấy AE + EM = AE + EB = AB = không đổi
(AE - EM)^2 >=0 <=> AE^2 + EM^2 >= 2AE.EM <=> (AE + EM)^2 >=4AE.EM <=> [(AE + EM)/2]^2 >= AE.EM <=> AB^2/4 >=S(AEM F)
Vậy S(AEM F ) max khi AE = EM => M trùng tâm O của hình vuông ABCD
giải thích tại sao tam giác DFM vuông cân