Cho a + b + c + d =2. CMR: a^2 +b^2 +c^2 +d^2 >=1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TM
30 tháng 9 2017
Áp dụng bđt Cô-si: \(a^2+b^2+c^2+d^2\)\(\ge4\sqrt[4]{a^2.b^2.c^2.d^2}\)\(=4\sqrt[4]{\left(abcd\right)^2}=4\sqrt[4]{1^2}=4;\)
\(a\left(b+c\right)+b\left(c+d\right)+d\left(c+a\right)=ab+ac+bc+bd+dc+da\)
\(\ge6\sqrt[6]{ab.ac.bc.bd.dc.da}=6\sqrt[6]{\left(abcd\right)^3}=6\sqrt[6]{1^3}=6\)
=>\(a^2+b^2+c^2+d^2\)\(a\left(b+c\right)+b\left(c+d\right)+d\left(c+a\right)\ge4+6=10\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=d=1
TM
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 11 2018
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số không âm ta có:
\(a^2+\frac{1}{4}\geq 2\sqrt{a^2.\frac{1}{4}}=|a|\geq a\)
\(b^2+\frac{1}{4}\geq 2\sqrt{b^2.\frac{1}{4}}=|b|\geq b\)
\(c^2+\frac{1}{4}\geq 2\sqrt{c^2.\frac{1}{4}}=|c|\ge c\)
\(d^2+\frac{1}{4}\geq 2\sqrt{d^2.\frac{1}{4}}=|d|\geq d\)
Cộng theo vế và rút gọn:
\(a^2+b^2+c^2+d^2+1\geq a+b+c+d=2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\geq 1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=d=\frac{1}{2}$
TH
0
TN
12 tháng 8 2017
Bài 1:
Cho a,b,c,d là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: - K2PI – TOÁN THPT | Chia sẻ Tài liệu, đề thi, hỗ trợ giải toán
Bài 2:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(1+1+1\right)\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\right)\ge\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2\)
Cần chứng minh \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge3\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge3\sqrt[3]{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}}=3\) (đúng)
Khi a=b=c
D
1
29 tháng 12 2017
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki , ta có:
Với a,b,c,d >0
\(\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\right)\left[a\left(b+c\right)+b\left(c+d\right)+c\left(d+a\right)+d\left(a+b\right)\right]\ge\left(a+b+c+d\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\right)\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{ab+bc+cd+da+2ca+2bd}\)
Ta cần chứng minh :
\(\left(a+b+c+d\right)^2\ge2\left(ab+bc+cd+da+2ac+2bd\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\ge2ca+2bd\)
\(\Leftrightarrow\left(a-c\right)^2+\left(b-d\right)^2\ge0\)(đúng)
\(\Leftrightarrow dpcm\)
a² + b² + c² + d² + e² ≥ a(b + c + d + e)
Ta có: a² + b² + c² + d² + e²
= (a²/4 + b²) + (a²/4 + c²) + (a²/4 + d²) + (a²/4 + e²)
Lại có: (a/2 - b)² ≥ 0 <=> a²/4 - ab + b² ≥ 0 <=> a²/4 + b² ≥ ab
Tương tự ta có:
. a²/4 + c² ≥ ac
. a²/4 + d² ≥ ad
. a²/4 + e² ≥ ae
--> (a²/4 + b²) + (a²/4 + c²) + (a²/4 + d²) + (a²/4 + e²) ≥ ab + ac + ad + ae
<=> a² + b² + c² + d² + e² ≥ a(b + c + d + e) --> đ.p.c.m
Dấu " = " xảy ra <=> a/2 = b = c = d = e