cho (o) và dây cung BC . A di chuyển trên BC sao cho ABC là tam giác nhọn. Đường cao BE , CF của tam giác ABC cắt nhau tại H và cắt đường tròn tại M và N. Chứng minh EF vuông góc với OA
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CT
1 tháng 5 2019
câu c nè: mik ns ý chính nhé
h bạn kẻ tiếp tuyến tại A
chứng minh đc AO vuông góc vs MN
=> OA vuông góc vs EF
do OA cố định
=> đường thẳng qua A vuông góc vs EF luôn đi qua 1 điểm cố định
do câu a va b bn làm đc rồi nên mik nghĩ bn cx hok giỏi rồi nên mik làm tắt nha
14 tháng 4 2022
a) Xét tam giác ABC có
BE là đường cao của AC tại E => góc BEA = góc BEC =90
CF là đường cao của AB tại F => góc CFA = góc CFB =90
AD là đường cao của BC tại D => góc ADB = góc ADC
xét tứ giác BFEC có
góc BFC = góc BEC = 90
mà F và E là 2 đỉnh đối => tứ giác nội tiếp (DHNB)
=> góc EFC = góc EBC (2 góc nội tiếp chắn EC)
=> góc FEH = góc HCB ( 2 góc nội tiếp chắn BF)
Xét (O) có
góc MNC = góc EBC (2 góc nội tiếp chắn MC )
=>góc EFC = góc MNC
mà 2 góc ở vị trí đồng vị => song song (tc)
b) Xét tứ giác BFHD có
góc BDA + góc CFB =180
mà F và D là 2 đỉnh kề
=> BFHD là tứ giác nội tiếp (DHNB)
=> góc CFD= góc EBC (góc nội tiếp chắn HD)
=> Góc EFC = góc CFD (= góc EBC)
=> FC là phân giác của góc DFE
=> FH là phân giác của góc DFE (H thuộc DC)
=Xét tứ giác CDHE có
góc ADC + góc CEB =180
mà D và E là 2 đỉnh kề
=> tứ giác CDHE nội tiếp
=> góc HCB = góc HED(2 góc nội tiếp chắn HD)
=> góc FEH = góc HEB (= góc HCD)
=> HE là phan giác góc FED
xét tma giác FED có
FH là phân giác góc EFD
EH lag phân giác góc FED
mà FH giao với EH tại H
=> H là giao điểm 3 đường phân giác của tam giác EFD
=> H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác EFD
c) gọi giao điểm của đường vuông góc kẻ từ A -> EF cắt EF tại K và cắt BE tại T và cắt (O) tại I
vì TK vuông góc với EF tại K
=> góc TKE = 90
xét tam giác TKE và tam giác TEA có
góc T chung
góc TKE = góc TEA (=90)
=> đồng dạng(g-g) => góc TEK = góc TAE
Xét tứ giác nội tiếp BFEC có
Góc TEK = góc FCB ( 2 góc nội tiếp chắn BF;T thuộc BE)
Xét (O) có
Góc TAE = góc CBI ( 2 góc nội tiếp chắn IC)
=> góc FCB = góc IBC
mà 2 góc ở vị trí so le trong => BI // CF (tc)
mà CF vuông góc với AB
=> IB vuông góc với AB
=> góc IBA=90 (tc)
xét (O)
=> góc IBA=1/2 số đo cung AI (góc nội tiếp chắn AI)=> số đo cũng AI = 180
=> AI là đường kính của đường tròn tâm (O)
=> A,I,O thẳng hàng
mà AI vuông góc với EF => đường vuông góc với EF sẽ luông đi qua điểm O
mà O cố định => đường vuông góc với EF sẽ luông đi qua điểm O cố định
23 tháng 4 2023
a: góc BFC=góc BEC=90 độ
=>BCEF nội tiếp
b: Xét ΔKFB và ΔKCE có
góc KFB=góc KCE
góc K chung
=>ΔKFB đồng dạng với ΔKCE
=>KF/KC=KB/KE
=>KF*KE=KB*KC
NN
Nguyễn Ngọc Anh Minh
CTVHS
VIP
18 tháng 3 2021
a/
Ta thấy F và E đều nhìn BC dưới cùng 1 góc 90 độ nên E,F nằm trên đường tròn đường kính BC ta gọi là đường tròn (O')
=> B,F,E,C cùng nawmg trên một đường tròn
b/
Xét đường tròn (O) ta có
sđ \(\widehat{BQP}=\) sđ \(\widehat{BCP}=\frac{1}{2}\) sđ cung BP (góc nội tiếp đường tròn) (1)
Xét đường tròn (O') ta có
sđ \(\widehat{BEF}=\) sđ \(\widehat{BCP}=\frac{1}{2}\) sđ cung BF (góc nội tiếp đường tròn) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{BQP}=\widehat{BEF}\) => PQ//EF (Hai đường thẳng bị cắt bởi đường thẳng thứ 3 có hai góc ở vị trí đồng vị thì chúng // với nhau
c/ ta thấy F và D cùng nhìn BH dưới cùng 1 góc 90 độ nên BDHF là tứ giác nội tiếp
sđ \(\widehat{ABE}=\)sđ \(\widehat{FDA}=\frac{1}{2}\) sđ cung FH (1)
Ta thấy D và E cùng nhìn AB đướ cùng 1 góc 90 độ nên ABDE là tứ giác nội tiếp
sđ \(\widehat{ABE}=\)sđ \(\widehat{ADE}=\frac{1}{2}\) sđ cung AE (2)
Mà \(\widehat{FDA}+\widehat{ADE}=\widehat{FDE}\) (3)
Từ (1) (2) và (3) \(\Rightarrow\widehat{FDE}=2.\widehat{ABE}\left(dpcm\right)\)
20 tháng 4 2020
Giải chi tiết:
a) Chứng minh tứ giác AEHF và BCEF nội tiếp.
Ta có ∠AEH=∠AFH=90o⇒∠AEH=∠AFH=90o⇒ E, F thuộc đường tròn đường kính AH
⇒⇒ A, E, H, F cùng thuộc một đường tròn
⇒AEHF⇒AEHF là tứ giác nội tiếp (dhnb).
Ta có ∠BEC=∠BFC=90o⇒∠BEC=∠BFC=90o⇒ BCEF là tứ giác nội tiếp (dhnb)
b) Hai đường thẳng EF và BC cắt nhau tại I. Vẽ tiếp tuyến ID với (O)(O)(D là tiếp điểm, D thuộc cung nhỏ BC). Chứng minh ID2=IB.ICID2=IB.IC.
Xét ΔIBDΔIBD và ΔIDCΔIDC có:
∠I∠I chung
∠IDB=∠ICD∠IDB=∠ICD (ID là tiếp tuyến của (O)(O))
⇒ΔIBD∼ΔIDC(g−g)⇒IDIC=IBID⇒ID2=IB.IC(dpcm).⇒ΔIBD∼ΔIDC(g−g)⇒IDIC=IBID⇒ID2=IB.IC(dpcm).
c) DE, DF cắt đường tròn (O)(O) tại M và N. Chứng minh NM // EF.
Xét ΔIBEΔIBE và ΔIFCΔIFC có:
∠I∠I chung
∠IEB=∠ICF∠IEB=∠ICF (BCEF là tứ giác nội tiếp)
⇒ΔIBE∼ΔIFC(g−g)⇒IEIC=IBIF⇒IB.IC=IE.IF⇒ΔIBE∼ΔIFC(g−g)⇒IEIC=IBIF⇒IB.IC=IE.IF (kết hợp b)
⇒ID2=IE.IF⇒IDIE=IFID⇒ID2=IE.IF⇒IDIE=IFID
Xét ΔIDFΔIDF và ΔIEDΔIED có:
∠I∠I chung
IDIE=IFID(cmt)IDIE=IFID(cmt)
⇒ΔIDF∼ΔIED⇒∠IDF=∠IED⇒ΔIDF∼ΔIED⇒∠IDF=∠IED (2 góc tương ứng)
Mặt khác ∠IDF=∠NMD∠IDF=∠NMD (ID là tiếp tuyến của (O)(O)) ⇒∠IED=∠NMD⇒∠IED=∠NMD (tc)
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị ⇒⇒ NM // EF.
CH
Cô Hoàng Huyền
Admin
VIP
19 tháng 12 2017
Bài 1:
+) Chứng minh tứ giác BFLK nội tiếp:
Ta thấy FAH và LAH là hai tam giác vuông có chung cạnh huyền AH nên AFHL là tứ giác nội tiếp. Vậy thì \(\widehat{ALF}=\widehat{AHF}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AF)
Lại có \(\widehat{AHF}=\widehat{FBK}\) (Cùng phụ với góc \(\widehat{FAH}\) )
Vậy nên \(\widehat{ALF}=\widehat{FBK}\), suy ra tứ giác BFLK nội tiếp (Góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện)
+) Chứng minh tứ giác CELK nội tiếp:
Hoàn toàn tương tự : Tứ giác AELH nội tiếp nên \(\widehat{ALE}=\widehat{AHE}\) , mà \(\widehat{AHE}=\widehat{ACD}\Rightarrow\widehat{ALE}=\widehat{ACD}\)
Suy ra tứ giác CELK nội tiếp.
Lời giải:
Xét tứ giác $BFEC$ có: $\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0$ và cùng nhìn cạnh $BC$ nên $BFEC$ là tứ giác nội tiếp.
Kẻ tiếp tuyến $Ax$ của $(O)$. Theo tính chất tiếp tuyến thì $Ax\perp OA(1)$
Lại có:
Tứ giác $BFEC$ nội tiếp.
$\Rightarrow \widehat{BCE}=\widehat{AFE}$
Mà $\widehat{BCE}=\widehat{BCA}=\widehat{xAB}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung thì bằng góc nội tiếp chắn cung đó - cụ thể ở đây là cung $AB$)
$\Rightarrow \widehat{AFE}=\widehat{xAB}$
Mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên $Ax\parallel EF(2)$
Từ $(1); (2)\Rightarrow EF\perp OA$