Cho đường tròn $(O, R)$. Từ điểm $A$ nằm ngoài đường tròn sao cho $O A=2 R$, kẻ hai tiếp tuyến $AB, AC$ với đường tròn ( $B, C$ là các tiếp điểm). Lấy điểm $D$ thuộc cung lớn $BC, BD<DC$ ($D, O, C$ không thẳng hàng); $K$ là giao điểm của $BC$ và $OA$.
a) Chứng minh tứ giác $ABOC$ nội tiếp đường tròn.
b) Kẻ $BH$ vuông góc với dây cung $CD$ ($H$ thuộc $CD$), gọi I là trung điểm $BH$; $DI$ cắt đường tròn $(O)$...
Đọc tiếp
Cho đường tròn $(O, R)$. Từ điểm $A$ nằm ngoài đường tròn sao cho $O A=2 R$, kẻ hai tiếp tuyến $AB, AC$ với đường tròn ( $B, C$ là các tiếp điểm). Lấy điểm $D$ thuộc cung lớn $BC, BD<DC$ ($D, O, C$ không thẳng hàng); $K$ là giao điểm của $BC$ và $OA$.
a) Chứng minh tứ giác $ABOC$ nội tiếp đường tròn.
b) Kẻ $BH$ vuông góc với dây cung $CD$ ($H$ thuộc $CD$), gọi I là trung điểm $BH$; $DI$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $N, AN$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $M$. Chứng minh $AM . AN=3 R^{2}$ và $\widehat{A K N}=\widehat{O N M}$.
c) Chứng minh rằng $AO$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABN$.
a: Xét tứ giác ABOC có \(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)
nên ABOC là tứ giác nội tiếp
b: Xét (O) có
\(\widehat{ABN}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BA và dây cung BN
\(\widehat{BMN}\) là góc nội tiếp chắn cung BN
Do đó: \(\widehat{ABN}=\widehat{BMN}\)
Xét ΔABN và ΔAMB có
\(\widehat{ABN}=\widehat{AMB}\)
\(\widehat{BAN}\) chung
Do đó: ΔABN~ΔAMB
=>\(\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AN}{AB}\)
=>\(AB^2=AM\cdot AN\left(1\right)\)
Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(2)
Ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(3)
Từ (2),(3) suy ra AO là trung trực của BC
=>AO\(\perp\)BC tại K
Xét ΔABO vuông tại B có BK là đường cao
nên \(AK\cdot AO=AB^2\left(4\right)\)
Từ (1),(4) suy ra \(AK\cdot AO=AN\cdot AM\)
=>\(\dfrac{AK}{AM}=\dfrac{AN}{AO}\)
Xét ΔAKN và ΔAMO có
\(\dfrac{AK}{AM}=\dfrac{AN}{AO}\)
\(\widehat{KAN}\) chung
Do đó: ΔAKN~ΔAMO
=>\(\widehat{AKN}=\widehat{AMO}\)
=>\(\widehat{AKN}=\widehat{OMN}\)
=>\(\widehat{AKN}=\widehat{ONM}\)