Cho tam giác ABC có AB=AC=5cm, BC=8cm. Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC)
a, Chứng minh: HB=HC và BAH=CAH
b, Tính độ dài AH
c, Kẻ HD vuông góc với AB (D thuộc AB) , kẻ HE vuông góc với AC (E thuộc AC). Chứng minh tam giác HDE là tam giác cân
Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của BC lấy điểm M, trên tia đối của CB lấy N sao cho BM=CN
a, Chứng minh: tam giác ABM = tam giác ACN
b, Kẻ BH vuông góc với AM, CK vuông góc với AN( H thuộc AM,K thuộc AN). Chứng minh : AH=AK
c, Gọi O là giao điểm của HB và KC. Tam giác OBC là tam giác gì? Vì sao?
Bài 4: Cho tam giác ABC, kẻ BE vuông góc với AC và CF vuông góc với AB. Biết BE=CF=8 cm. Độ dài các đoạn thẳng BF và BC tỉ lệ với 3 và 5.
a, Chứng minh tam giác ABC là tam giác cân
b, Tính độ dài cạnh đáy BC
c, BE và CF cắt nhau tại O. Nối OA và EF. Chứng minh đường thẳng OA là trung trực của đoạn thẳng EF
Bài 5 : Cho tam giác ABC vuông tại A, BD là tia phân giác của góc ABC (D thuộc AC). Từ D kẻ DE vuông góc với BC tại E. Gọi I là giao điểm của AE và BD. Chứng minh:
a, Tam giác ADB= tam giác EDB
b, BD là đường trung trực của AE
c, Tam giác EDC vuông cân
d, Lấy F thuộc tia đối của tia AB sao cho AF=EC.Chứng minh 3 điểm E, D, F thẳng hàng
Bài 6: Cho tam giác MNP cân tại M. Trên cạnh MN lấy điểm E, trên cạnh MP lấy điểm F sao cho ME=MF. Gọi S là giao điểm của NF và PE. Chứng minh
a, Tam giác MNF= tam giác MPE
b, Tam giác NSE= tam giác PSE
c, EF // NP
d, Lấy K là trung điểm của NP. Chứng minh ba điểm M, S, K thẳng hàng
Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên BC lấy E sao cho BE=AB. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại D
a, Chứng minh AD=AE và góc ABD= góc EBD
b, Lấy điểm F thuộc tia đối của tia AB sao cho AF=EC. Chứng minh tam giác DFC cân
c, Gọi O là giao điểm của BD và AE. Chứng minh BD là đường trung trực của AE
d, Chứng minh 3 điểm F, D,E thẳng hàng
Mình đang cần gấp
1: Xét tứ giác ABCK có \(\widehat{BAC}=\widehat{BKC}=90^0\)
nên ABCK là tứ giác nội tiếp
2:
Xét ΔCKB vuông tại K và ΔCEF vuông tại E có
\(\widehat{KCB}\) chung
Do đó: ΔCKB~ΔCEF
=>\(\dfrac{CK}{CE}=\dfrac{CB}{CF}\)
=>\(CK\cdot CF=CB\cdot CE\)
Xét ΔACB vuông tại A có AE là đường cao
nên \(CE\cdot CB=CA^2\)
=>\(CA^2=CK\cdot CF\)
=>\(\dfrac{CA}{CF}=\dfrac{CK}{CA}\)
Xét ΔCAK và ΔCFA có
\(\dfrac{CA}{CF}=\dfrac{CK}{CA}\)
\(\widehat{ACK}\) chung
Do đó: ΔCAK~ΔCFA
1. Chứng minh tứ giác ABCK nội tiếp:
Ta có ∆ABC vuông tại A, do đó góc ACB là góc vuông.
Gọi H là trực tâm của ∆BFC, suy ra BH ⊥ FC.
Vì A là trung điểm của EF, AE = EF và AE ⊥ BC (vì AE là đường cao), suy ra E là trung điểm của BC.
Từ đó, BK cũng là đường cao của ∆BFC, suy ra BK ⊥ FC.
Vậy tứ giác ABCK có hai đường chéo AC và BK cùng vuông góc với cạnh BC, suy ra tứ giác ABCK nội tiếp đường tròn đường kính BC.
2. Chứng minh tam giác CAK đồng dạng với tam giác CFA:
Vì tứ giác ABCK nội tiếp, suy ra góc BAC = góc BKC (cùng chắn cung BC).
Góc BAC là góc vuông (vì ∆ABC vuông tại A), suy ra góc BKC cũng là góc vuông.
Do đó, ∆BKC vuông tại K.
Vì ∆ABC vuông tại A, suy ra góc ABC + góc BAC = 90°.
Tương tự, trong ∆BFC vuông tại F, ta có góc BFC + góc FBC = 90°.
Vì E là trung điểm của BC, suy ra BE = EC và góc ABC = góc FBC.
Từ đó, góc BAC = góc BKC và góc ABC = góc FBC, suy ra ∆CAK đồng dạng với ∆CFA theo trường hợp góc-góc.
3. Chứng minh H là trung điểm của AE:
Vì H là trực tâm của ∆BFC, suy ra BH ⊥ FC và CH ⊥ BF.
Vì BK là đường cao của ∆BFC, suy ra BK ⊥ FC.
Vì E là trung điểm của BC và AE ⊥ BC, suy ra AE là đường trung bình của ∆BFC.
Đường trung bình trong tam giác vuông cũng là đường cao, suy ra H là giao điểm của AE và BK.
Do đó, H chia AE thành hai đoạn bằng nhau, suy ra H là trung điểm của AE.