Cho đường tròn tâm o bán kính r và một dây cung bc không đi qua tâm o lấy điểm a trên cung lớn bc sao cho abc nhọn . Các đường cao AD , BE, CF đồng quy tại H. Các đường thẳng BE và CF cắt đường tròn tâm o tại điểm thứ hai lần lượt là Q và P a, chứng minh :tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp và PQ//EF b, Gọi i là trung điểm của BC . Chứng minh :FDE=2ABE và...
Đọc tiếp
Cho đường tròn tâm o bán kính r và một dây cung bc không đi qua tâm o lấy điểm a trên cung lớn bc sao cho abc nhọn . Các đường cao AD , BE, CF đồng quy tại H. Các đường thẳng BE và CF cắt đường tròn tâm o tại điểm thứ hai lần lượt là Q và P a, chứng minh :tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp và PQ//EF b, Gọi i là trung điểm của BC . Chứng minh :FDE=2ABE và FDE=FIE
a: Xét tứ giác BFEC có \(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0\)
nên BFEC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC
Xét (O) có
\(\widehat{CPQ}\) là góc nội tiếp chắn cung CQ
\(\widehat{CBQ}\) là góc nội tiếp chắn cung CQ
Do đó: \(\widehat{CPQ}=\widehat{CBQ}\)
=>\(\widehat{HPQ}=\widehat{HFE}\)
=>PQ//FE
b: Vì BFEC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC
nên BFEC nội tiếp (I)
=>IF=IE=IB=IC
Xét ΔICE có \(\widehat{EIB}\) là góc ngoài tại đỉnh I
nên \(\widehat{EIB}=\widehat{IEC}+\widehat{ICE}=2\cdot\widehat{ACB}\)
Xét tứ giác AFDC có \(\widehat{AFC}=\widehat{ADC}=90^0\)
nên AFDC là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{BFD}=\widehat{BCA}\left(=180^0-\widehat{AFD}\right)\)
Vì BFEC là tứ giác nội tiếp
nên \(\widehat{AFE}=\widehat{ACB}\left(=180^0-\widehat{EFB}\right)\)
\(\widehat{AFE}+\widehat{EFD}+\widehat{BFD}=180^0\)
=>\(\widehat{EFD}+\widehat{ACB}+\widehat{ACB}=180^0\)
=>\(\widehat{EFD}+2\cdot\widehat{ACB}=180^0\)
=>\(\widehat{EFD}+\widehat{EID}=180^0\)
=>EFDI là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{FDE}=\widehat{FIE}\)
Xét (I) có
\(\widehat{FCE}\) là góc nội tiếp chắn cung FE
nên \(\widehat{FCE}=\dfrac{\widehat{FIE}}{2}\)
=>\(\widehat{FIE}=2\cdot\widehat{FCE}=2\cdot\widehat{ACF}=2\cdot\widehat{ABE}\)