Chứng minh rằng \(ab\left(a^2-b^2\right)\left(4a^2-b^2\right)\)\(⋮\)\(5\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
13 tháng 7 2020
\(\Sigma_{sym}a^4b^4\ge\frac{\left(\Sigma_{sym}a^2b^2\right)^2}{3}\ge\frac{\left(\Sigma_{sym}ab\right)^4}{27}\ge\frac{a^2b^2c^2\left(a+b+c\right)^2}{3}=3a^4b^4c^4\)
13 tháng 7 2020
\(\Sigma\frac{a^5}{bc^2}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{abc\left(a+b+c\right)}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^4}{abc\left(a+b+c\right)^3}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^6\left(a^2+b^2+c^2\right)}{27abc\left(a+b+c\right)^3}\)
\(\ge\frac{\left(3\sqrt[3]{abc}\right)^3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{27abc}=a^2+b^2+c^2\)
18 tháng 6 2022
\(B=\dfrac{\left(4a^2-1\right)\left(b-c\right)-\left(4b^2-1\right)\left(a-c\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}+\dfrac{4c^2-1}{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\)
\(=\dfrac{4a^2b-4a^2c-b+c-4ab^2+4b^2c+a-c}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}+\dfrac{4ac^2-4bc^2-a+b}{\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left(a-b\right)}\)
\(=\dfrac{4a^2b-4a^2c+a-b-4ab^2+4b^2c+4ac^2-4bc^2-a+b}{\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left(a-b\right)}\)
\(=\dfrac{4a^2b-4ab^2-4a^2c+4ac^2-4bc^2+4b^2c}{\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left(a-b\right)}\)
\(=\dfrac{4a^2\left(b-c\right)+4bc\left(b-c\right)-4a\left(b^2-c^2\right)}{\left(b-c\right)\left(a-c\right)\left(a-b\right)}\)
\(=\dfrac{4a^2+4bc-4a\left(b+c\right)}{\left(a-c\right)\left(a-b\right)}\)
\(=\dfrac{4a^2-4ab+4bc-4ac}{\left(a-c\right)\left(a-b\right)}\)
\(=\dfrac{4a\left(a-b\right)-4c\left(a-b\right)}{\left(a-c\right)\left(a-b\right)}=4\)
LA
2
24 tháng 9 2017
Biến đổi VP ta có :
\(VP=\left(a^3+b^3\right)\left(a^2+b^2\right)-\left(a+b\right)\)
\(=a^5+a^3b^2+a^2b^3+b^5-\left(a+b\right)\)
\(=a^5+a.\left(ab\right)^2+b.\left(ab\right)^2+b^5-\left(a+b\right)\)
\(=a^5+a+b+b^5-\left(a+b\right)\) (vì \(ab=1\))
\(=a^5+b^5=VT\)(đpcm)
LA
24 tháng 9 2017
Biến đổi vế phải :
\(\left(a^3+b^3\right)\left(a^2+b^2\right)-\left(a+b\right)=a^5+b^5+a^3b^2+a^2b^3-\left(a+b\right)
\)
\(=a^5+b^5+a^2b^2\left(a+b\right)-\left(a+b\right)\)
\(=a^5+b^5+\left(a+b\right)-\left(a+b\right)\)(vì ab=1)
\(=a^5+b^5\)
24 tháng 7 2023
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a^2-bc=x\\b^2-ca=y\\c^2-ab=z\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x+y+z\ge0\)
\(\)Đẳng thức cần c/m trở thành: \(x^3+y^3+z^3\ge3xyz\left(1\right)\)
Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM cho 3 số x,y,z, ta có:
\(x^3+y^3+z^3\ge3\sqrt[3]{x^3.y^3.z^3}=3xyz\)
=> Đẳng thức (1) luôn đúng với mọi x
Dấu = xảy ra khi: x=y=z hay \(a^2-bc=b^2-ca=c^2-ab\)
và \(a^2+b^2+c^2-\left(ab+bc+ca\right)=0\)\(\Rightarrow a=b=c\)
LD
23 tháng 7 2019
a. \(2\left(a^2+b^2\right)=\left(a-b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2=a^2+b^2-2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2=-2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow a+b=0\Leftrightarrow a=-b\) (đpcm)
b. \(a^2+b^2+c^2+3=2\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+3-2a-2b-2c=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)+\left(c^2-2c+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2=0\)
Vì \(\left(a-1\right)^2;\left(b-1\right)^2;\left(c-1\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a-1\right)^2=\left(b-1\right)^2=\left(c-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow a-1=b-1=c-1=0\Leftrightarrow a=b=c=1\)
c. \(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
Tương tự câu b ta có a = b = c