Cho hình thang ABCD (AB song song CD). Gọi E, F, P, Q trung điểm AD, BC, BD, AC.
a) Chứng minh E, F, P, Q thẳng hàng.
b) Cho DC = 2AB. Chứng minh EF = PQ = QF.
c) Nếu P trùng Q thì hình thang ABCD là hình gì?
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét tam giác ABD có
E là trung điểm AD
P là trung điểm BD
=> EP là đường trung bình của tam giác ABD (1)
Xét tam giác ABC có :
Q là trung điểm AC
F là trung điểm CB
=> QF là đường trung bình của tam giác ABC (2)
Xét tứ giác ABCD có :
Q là trung điểm AC
P là trung điểm BD
=> QP là đường trung bình của tứ giác ABCD (3)
Từ (1) ; (2) ; (3)
=> Q , F , E , P thẳng hàng
a: Xét ΔDAB có
E là trung điểm của AD
P là trung điểm của BD
Do đó: EP là đường trung bình
=>EP//AB và EP=AB/2
Xét ΔCAB có
Q là trung điểm của AC
F là trung điểm của BC
Do đó: QF là đường trung bình
=>QF//AB và QF=AB/2
Xét hình thang ABCD có
E là trung điểm của AD
F là trung điểm của BC
Do đó: EF là đường trung bình
=>EF//AB//CD
Ta có: EF//AB
EP//AB
EF,EP có điểm chung là E
Do đó: E,F,P thẳng hàng(1)
Ta có: EF//AB
QF//AB
FE,FQ có điểm chung là F
Do đó:F,E,Q thẳng hàng(2)
Từ (1) và (2) suy ra E,P,Q,F thẳng hàng
b: \(EF=\dfrac{AB+CD}{2}=\dfrac{3}{2}AB\)
\(PQ=EF-EP-QF=\dfrac{3}{2}AB-\dfrac{1}{2}AB-\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}AB\)
=>EP=PQ=QF
Gọi I là trung điểm của AB.
Giả sử đường thẳng IE cắt CD tại K1
Có: \(\frac{IA}{K_1D}=\frac{EI}{EK_1}=\frac{IB}{K_1C}\) (hệ quả định lý Ta lét)
mà IA = IB (gt) nên K1D = K1C, do đó K1 là trung điểm CD
Giả sử đường thẳng IF cắt CD tại K2
Có: \(\frac{IA}{K_2C}=\frac{FI}{FK_2}=\frac{IB}{K_2D}\) (hệ quả định lý Ta lét)
mà IA = IB (gt) nên K2C = K2D, do đó K2 là trung điểm CD
do IE và IF cùng đi qua trung điểm K của CD nên hai đường thẳng này trùng nhau
Vậy ta có đpcm
Kẻ đường chéo AC cắt EF tại I
Trong ΔADC, ta có: EI // CD
Suy ra:
Suy ra:
Lại có :
Suy ra:
Từ (1) và (2) suy ra:
Trong ΔABC, ta có: FI // AB
Suy ra: (định lí ta-lét) (3)
Trong ΔADC, ta có : EI // CD
Suy ra: (định lí ta-lét) (4)
Từ (3) và (4) suy ra
Trong ΔABC, ta có: IF // AB
Suy ra: (định lí ta-lét)
Suy ra:
Ta có:
Suy ra:
Từ (5) và (6) suy ra:
Vậy: