Question

[Phan Thảo My]

                                                  ĐỀ 17-18

Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Trên đoạn OA lấy điểm H. Qua H dựng đường thẳng vuông góc với AB, đường thẳng này cắt nửa đường tròn tại C. trên cung BC lấy điểm M. Kẻ CK vuông góc với AM.

a/ Chứng minh tứ giác ACKH nội tiếp.

b/ Chứng minh CHK=CBM.

c/ Gọi N là giao điểm của AM và CH.

Tính theo R giá trị của biểu thức P = AM. AN + BC²

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét tứ giác AHKC có \(\widehat{AHC}=\widehat{AKC}=90^0\)

nên AHKC là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

\(\widehat{CAM}\) là góc nội tiếp chắn cung CM

\(\widehat{CBM}\) là góc nội tiếp chắn cung CM

Do đó: \(\widehat{CAM}=\widehat{CBM}\)

mà \(\widehat{CAM}=\widehat{CHK}\)(ACKH nội tiếp)

nên \(\widehat{CHK}=\widehat{CBM}\)

c: Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

Xét ΔAHN vuông tại H và ΔAMB vuông tại M có

\(\widehat{HAN}\) chung

Do đó: ΔANH~ΔABM

=>\(\dfrac{AN}{AB}=\dfrac{AH}{AM}\)

=>\(AN\cdot AM=AH\cdot AB\)

Xét ΔCAB vuông tại C có CH là đường cao

nên \(AH\cdot AB=AC^2\)

=>\(AM\cdot AN=AC^2\)

\(P=AM\cdot AN+BC^2=AC^2+BC^2=AB^2=4R^2\)