Question

[kevin]

Cho a;b;c là 3 cạnh của một tam giác. CMR \(\sqrt{r.r_c}\le\frac{c}{2}\)(r là bán kính đường tròn nội tiếp,\(r_c\)là bán kính đường tròn bàng tiếp trong\(\widehat{BAC}\)

Answer 1

[Phan Nghĩa]

Gọi A; B; CD,E,F làn lượt là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác với BC; CA; AB

Khi đó: \(S=S_{BIC}+S_{CAI}+S_{BAI}=\frac{1}{2}\)  \(BC.ID+CA.IE+AB.IF=p.r\)

\(\frac{S}{h_a}+\frac{S}{h_b}+\frac{S}{h_c}=\frac{1}{2}\)  \(a+b+c=p=\frac{S}{r}\)

\(\RightarrowĐPCM\)

Không tính tổng quát, giả sử: \(h_a\le h_b\le h_c\)

\(\Rightarrow\frac{1}{h_a}\ge\frac{1}{h_b}\ge\frac{1}{h_c}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{h_a}\ge\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow h_a\le3\)

Mặt khác: \(\frac{1}{h_a}< \frac{1}{r}=1\Rightarrow h_a>1\Rightarrow h_a\ge2\)

Vậy: \(h_a=2\)hoặc \(h_a=3\)

Nếu \(h_a=2\)

\(\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)**

Ta có: \(a\ge b\ge c\)do \(h_a\le h_b\le h_c\)

Để a; b; clà 3 cạnh của một hình tam giác ta chỉ cần b + c > a do khi \(a\ge b\ge c\)theo ta sẽ có ngay a + c > b, a + b > c

\(\Leftrightarrow\frac{S}{h_b}+\frac{S}{h_c}>\frac{S}{h_a}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}>\frac{1}{h_a}=\frac{1}{2}\)mâu thuẫn với **

Vậy, loại trường hợp này.

\(\Rightarrow h_a=3\Rightarrow h_b\ge h_c\ge3\)

\(\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\)

\(\frac{1}{h_b}\ge\frac{1}{h_c}\)

Suy ra: \(\frac{1}{h_b}\ge\frac{1}{3}\Rightarrow h_b\le3\)

Mà: \(h_b\ge\frac{1}{3}\Rightarrow h_b\le3\)

Vậy: \(h_b=3\Rightarrow h_c=3\)

\(\RightarrowĐPCM\)