Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A (góc A nhọn, AB > BC). Gọi M là trung điểm của BC. a) Chứng minh: ∆AMB = ∆AMC b) Gọi I là trung điểm của AB. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC, cắt tia MI tại D. Chứng minh: AD = MC. c) CD lần lượt cắt AB, AM tại S và E. Chứng minh: BC < 3AS.
Bài 2: Cho vuông tại A có , kẻ đường phân giác của . Kẻ vuông góc với tại M. a) Chứng minh .tam giác DAB=tam giác DMB b) Chứng minh:AC<DC c) Gọi K là giao điểm của đường thẳng và đường thẳng , đường thẳng cắt tại N. Chứng minh và cân tại B.
Bài 3: Cho ABC cân tại A, kẻ AH vuông góc với BC , a, Chứng minh rằng: ABH= ACH b, Gọi N là trung điểm của AC Hai đoạn BN và AH cắt nhau tại G, trên tia đối của tia NB lấy K sao cho NK=NG. Chứng minh: G là trọng tâm của tam giác ABC và AG//CK c, Chứng minh: G là trung điểm BK Giúp mình với ạ
Bài 1
a) Do ∆ABC cân tại A (gt)
⇒ AB = AC
Do M là trung điểm của BC (gt)
⇒ BM = MC
Xét ∆AMB và ∆AMC có:
AB = AC (cmt)
BC = MC (cmt)
AM là cạnh chung
⇒ ∆AMB = ∆AMC (c-c-c)
b) Do AD // BC (gt)
⇒ AD // BM
⇒ ∠DAI = ∠MBI (so le trong)
Xét ∆AID và ∆BIM có:
∠DAI = ∠MBI (cmt)
AI = BI (do I là trung điểm của AB)
∠AID = ∠BIM (đối đỉnh)
⇒ ∆AID = ∆BIM (g-c-g)
⇒ AD = BM (hai cạnh tương ứng)
Mà BM = MC (cmt)
⇒ AD = MC
c) ∆AMB = ∆AMC (cmt)
⇒ ∠AMB = ∠AMC (hai góc tương ứng)
Mà ∠AMB + ∠AMC = 180⁰ (kề bù)
⇒ ∠AMB = ∠AMC = 180⁰ : 2 = 90⁰
⇒ AM ⊥ BC
⇒ ∠AMC = ∠EMC = 90⁰
⇒ ∆MCE vuông tại M
Mà AD // BC (cmt)
⇒ AD ⊥ AM
⇒ ∠DAM = ∠DAE = 90⁰
⇒ ∆ADE vuông tại A
Do AD // BC (gt)
⇒ ∠ADE = ∠MCE (so le trong)
Xét hai tam giác vuông: ∆ADE và ∆MCE có:
AD = MC (cmt)
∠ADE = ∠MCE (cmt)
⇒ ∆ADE = ∆MCE (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)
⇒ AE = ME (hai cạnh tương ứng)
⇒ E là trung điểm của AM
Do ∆AID = ∆BIM (cmt)
⇒ ID = IM (hai cạnh tương ứng)
⇒ I là trung điểm của MD
∆ADM có:
AI là đường trung tuyến (do I là trung điểm của MD)
DE là đường trung tuyến (do E là trung điểm của AM)
Mà AI và DE cắt nhau tại S
⇒ S là trọng tâm của ∆ADE
⇒ AS = 2SI
⇒ 3AS = 6SI
Lại có:
AI = BI (cmt)
⇒ AB = AI + BI = 3SI + 3SI = 6SI
⇒ AB = 3AS
Mà AB > BC (gt)
⇒ 3AS > BC
Hay BC < 3AS
Bài 3
a) Do ∆ABC cân tại A (gt)
⇒ AB = AC
Xét hai tam giác vuông: ∆ABH và ∆ACH có:
AB = AC (cmt)
AH là cạnh chung
⇒ ∆ABH = ∆ACH (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
b) ∆ABC cân tại A (gt)
AH là đường cao (gt)
⇒ AH cũng là đường trung tuyến của ∆ABC
Lại có N là trung điểm của AC (gt)
⇒ BN là đường trung tuyến thứ hai của ∆ABC
Mà AH và BN cắt nhau tại G (gt)
⇒ G là trọng tâm của ∆ABC
Xét ∆ANG và ∆CNK có:
AN = CN (do N là trung điểm của AC)
∠ANG = ∠CNK (đối đỉnh)
NG = NK (gt)
⇒ ∆ANG = ∆CNK (c-g-c)
⇒ ∠AGN = ∠CKN (hai góc tương ứng)
Mà ∠AGN và ∠CKN là hai góc so le trong
⇒ AG // CK
c) Do G là trọng tâm của ∆ABC (cmt)
⇒ AG = 2GN
Lại có:
NG = NK (gt)
⇒ GK = 2GN
Mà BG = 2GN (cmt)
⇒ BG = GK
⇒ G là trung điểm của BK