1/(1+a)^2+1/(1+b)^2>=1/1+ab
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
NH
Nguyễn Hữu Thịnh
25 tháng 4 2024
Đúng(0)
Những câu hỏi liên quan
DM
3
25 tháng 4 2018
\(\frac{1}{\left(1+a^2\right)}+\frac{1}{\left(1+b^2\right)}\ge\frac{2}{\left(1+ab\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)+\left(1+a^2\right)\left(1+ab\right)\ge2\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow1+b^2+ab+ab^2+1+a^2+ab+a^3b-2\left(1+a^2+b^2+a^2b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a^2-2ab+b^2\right)-\left(a^2+2ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-1\right)\left(a-b\right)^2\ge0\left(đ\text{ieu nay khong the x ra}\right)\)
\(\text{Dau }"="\Leftrightarrow a=b=c=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 8 2020
1.
\(\left(1+a\right)^2=\left(1.1+\sqrt{\frac{a}{b}}.\sqrt{ab}\right)^2\le\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+ab\right)=\frac{\left(a+b\right)\left(1+ab\right)}{b}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(1+a\right)^2}\ge\frac{b}{\left(a+b\right)\left(1+ab\right)}\)
\(\left(1+b\right)^2\le\frac{\left(a+b\right)\left(1+ab\right)}{a}\Rightarrow\frac{1}{\left(1+b\right)^2}\ge\frac{a}{\left(a+b\right)\left(1+ab\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(1+a\right)^2}+\frac{1}{\left(1+b\right)^2}\ge\frac{a}{\left(a+b\right)\left(1+ab\right)}+\frac{b}{\left(a+b\right)\left(1+ab\right)}=\frac{1}{1+ab}=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)
2.
\(P=\sqrt{\frac{a^2}{a^4+3}}+\sqrt{\frac{b^2}{b^4+3}}\le\sqrt{2\left(\frac{a^2}{a^4+3}+\frac{b^2}{b^4+3}\right)}\)
Đặt \(\left(a^2;b^2\right)=\left(x;y\right)\Rightarrow xy=1\)
\(Q=\frac{x}{x^2+3}+\frac{y}{y^2+3}=\frac{x}{x^2+3}+\frac{x}{3x^2+1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\)
\(Q=\frac{-\left(x-1\right)^2\left(3x^2-2x+3\right)}{2\left(x^2+3\right)\left(3x^2+1\right)}+\frac{1}{2}\le\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow P\le\sqrt{2Q}\le1\)
\(P_{max}=1\) khi \(a=b=1\)
ML
8 tháng 8 2015
Một số bất đẳng thức thường được dùng (chứng minh rất đơn giản)
Với a, b > 0, ta có:
\(a^2+b^2\ge2ab\)
\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
Dấu "=" của các bất đẳng thức trên đều xảy ra khi a = b.
Phân phối số hạng hợp lí để áp dụng Côsi
\(1\text{) }P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{2}{\left(a+b\right)^2}\)
\(\ge6\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = 1/2.
\(2\text{) }P\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}\ge4\)
\(3\text{) }P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{4ab}+4ab+\frac{1}{4ab}\)
\(\ge\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+2\sqrt{\frac{1}{4ab}.4ab}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}\ge1+2+1=4\)
CL
0
NT
0