Question

[đỗ doãn minh duy]

Cho AMNP vuông tại M, đường cao MH. Trên tia NP lấy điểm D sao cho DN = NM. Đường vuông góc với NP tại D cắt MP tại E.

a) Chứng minh rằng: ANME = ANDE

b) Gọi A là giao điểm của MD và NE. Chứng minh NA là đường cao của AMND

c) Chứng minh: Tia MD là tia phân giác của HMP

d) Kẻ PF NE tại F. Chứng minh rằng: MN, DE, PF đồng qui.

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét ΔMNE vuông tại M và ΔDNE vuông tại D có

NE chung

NM=ND

Do đó: ΔMNE=ΔDNE

b: ΔMNE=ΔDNE

=>EM=ED

=>E nằm trên đường trung trực của MD(1)

ta có: NM=ND

=>N nằm trên đường trung trực của MD(2)

Từ (1),(2) suy ra NE là đường trung trực của MD

=>NE\(\perp\)MD tại A

=>NA là đường cao của ΔDNM

c: Ta có: \(\widehat{PMD}+\widehat{NMD}=\widehat{NMP}=90^0\)

\(\widehat{DMH}+\widehat{NDM}=90^0\)(ΔHDM vuông tại H)

mà \(\widehat{NMD}=\widehat{NDM}\)(NM=ND)

nên \(\widehat{PMD}=\widehat{DMH}\)

=>MD là phân giác của góc HMP

d: Gọi K là giao điểm của PF và NM

Xét ΔPKN có

NF,PM là các đường cao

NF cắt PM tại E
Do đó:E  là trực tâm của ΔPKN

=>KE\(\perp\)NP

mà ED\(\perp\)NP

nên K,E,D thẳng hàng

=>NM,DE,PF đồng quy tại K