Cho 8 số tự nhiên phân biệt, mỗi số có 2 chữ số. Chứng minh rằng luôn có thể chọn ra từ chúng 2 số, mà khi viết 2 số đó cạnh nhau và xen vào chính giữa chữ số 0, thì ta được 1 số có 5 chữ số chia hết cho 7.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
Gọi 8 số đó là \(n_i=\overline{a_ib_i}\) với \(1\le i\le8\).
Với mỗi 2 số \(n_i,n_j\left(i\ne j,1\le i,j\le8\right)\), ta có:
\(N_{ij}=\overline{a_ib_i0a_jb_j}\)
\(=10000a_i+1000b_i+10a_j+b_j\)
\(=10010a_i+1001b_i+\left(10a_j-10a_i\right)+\left(b_j-b_i\right)\)
\(=10010a_i+1001b_i+n_j-n_i\)
Để ý rằng một số khi chia cho 7 chỉ có 7 số dư phân biệt là 0, 1, 2,..., 6. Do ta chọn 8 số \(n_i\) nên theo nguyên lý Dirichlet sẽ tồn tại 2 số \(n_k,n_l\left(k\ne l,1\le k,l\le8\right)\) mà chúng có cùng số dư khi chia cho 7.
\(\Rightarrow n_k-n_l⋮7\)
Khi đó \(N_{kl}=10010a_k+1001b_k+\left(n_l-n_k\right)⋮7\) (do \(1001⋮7\))
Vậy ta có đpcm.