2. Cho x, y, z là độ dài 3 cạnh của một tam giác
chứng minh rằng x/3[y+z-x] + y/3[x+z-y] + z/3[x+y-z] >=1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
VT
1
24 tháng 11 2016
A= 4x2y2 - (x2 + y2 - z2 )2
= (2xy - x2 - y2 + z2)(2xy + x2 + y2 - z2)
=[ z2-(x-y)2].[ (x+y)2-z2 ]
=(z-x+y)(z+x-y)(x+y-z)(z+y+z)
x,y,z là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác=>x>0,y>0,x>0
áp dụng bất đẳng thức của tam giác
ta có:
z-x+y>0
z+x-y>0
x+y-z>0
x+y+z>0
=> tích (z-x+y)(z+x-y)(x+y-z)(x+y+z) >0
=> A>0
21 tháng 4 2020
a) Vì x,y,z>0 nên a,b,c>0 (1)
Ta có: a+b-c=x+y+y+z-z-x=2y>0
=> a+b>c. Tương tự ta có b+c>a, c+a>b (2)
Từ (1) và (2) => Tồn tại tam giác mà các cạnh của nó có độ dài 3 cạnh là a,b,c
b) Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên ta có a+b>c hay x+y+y+z>z+x => y>0
Tương tự: z,x>0
Vậy có các số dương x,y,z tm
9 tháng 3 2021
Xét tam giác ABC có ba cạnh BC = a, CA = b, AB = c. Phân giác của các góc A, B, C lần lượt là AD = x, BE = y, CF = z.
Kẻ DM // AB \((M\in AC)\).
Ta có \(\widehat{ADM}=\widehat{BAD}=\widehat{MAD}\Rightarrow\) Tam giác AMD cân tại M.
Do đó AM = MD.
Áp dụng định lý Thales với DM // AB ta có:
\(\dfrac{MD}{AB}=\dfrac{CM}{AC}=1-\dfrac{AM}{AC}=1-\dfrac{DM}{AC}\Rightarrow\dfrac{MD}{AB}+\dfrac{MD}{AC}=1\Rightarrow\dfrac{1}{MD}=\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{AC}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\).
Mặt khác theo bất đẳng thức tam giác ta có \(x=AD< AM+MD=2MD\Rightarrow MD>\dfrac{x}{2}\Rightarrow\dfrac{1}{MD}< \dfrac{2}{x}\Rightarrow\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}< \dfrac{2}{x}\).
Tương tự \(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}< \dfrac{2}{y};\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}< \dfrac{2}{z}\).
Cộng vế với vế của các bđt trên rồi rút gọn ta có đpcm.
1 tháng 1 2023
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a=\sqrt{x+y-z}\\b=\sqrt{y+z-x}\\c=\sqrt{z+x-y}\end{matrix}\right.\). Vì x,y,z là độ dài 3 cạnh của tam giác nên a,b,c luôn có nghĩa.
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2=x+y-z\\b^2=y+z-x\\c^2=z+x-y\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{c^2+a^2}{2}\\y=\dfrac{a^2+b^2}{2}\\z=\dfrac{b^2+c^2}{2}\end{matrix}\right.\)
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
\(\dfrac{c^2+a^2}{2a}+\dfrac{a^2+b^2}{2b}+\dfrac{b^2+c^2}{2c}\ge\sqrt{\dfrac{c^2+a^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{b^2+c^2}{2}}\)
Theo BĐT Bunhiacopxki ta có:
\(\left(\dfrac{c^2+a^2}{2a}+\dfrac{a^2+b^2}{2b}+\dfrac{b^2+c^2}{2c}\right)\left(a+b+c\right)\ge\left(\sqrt{\dfrac{c^2+a^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{b^2+c^2}{2}}\right)^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{c^2+a^2}{2a}+\dfrac{a^2+b^2}{2b}+\dfrac{b^2+c^2}{2c}\ge\dfrac{\left(\sqrt{\dfrac{c^2+a^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{b^2+c^2}{2}}\right)^2}{a+b+c}\)Ta chỉ cần chứng minh BĐT sau là bài toán đc giải quyết:
\(\dfrac{\left(\sqrt{\dfrac{c^2+a^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{b^2+c^2}{2}}\right)^2}{a+b+c}\ge\sqrt{\dfrac{c^2+a^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{b^2+c^2}{2}}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{c^2+a^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{b^2+c^2}{2}}\ge a+b+c\left(1\right)\)
Ta có BĐT: \(a^2+b^2\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}\ge\dfrac{a+b}{2}\)
Tương tự: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{\dfrac{b^2+c^2}{2}}\ge\dfrac{b+c}{2}\\\sqrt{\dfrac{c^2+a^2}{2}}\ge\dfrac{c+a}{2}\end{matrix}\right.\)
Cộng vế theo vế của các BĐT trên ta có BĐT (1) đúng.
\(\Rightarrowđpcm\). Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
A
1
13 tháng 10 2018
Vì x;y;z là 3 cạnh của tam giác
=> \(x+y>z\)
\(\Rightarrow x+y+z>z+z\)
\(\Rightarrow x+y+z>2z\)
\(\Rightarrow2>2z\Rightarrow z< 1\)
Chứng minh tương tự ta được: x < 1 ; y < 1
\(\Rightarrow1-x>0;1-y>0;1-z>0\)
\(\Rightarrow\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)>0\)
\(\Rightarrow\left(1-y-x+xy\right)\left(1-z\right)>0\)
\(\Rightarrow1-y-x+xy-z+yz+xz-xyz>0\)
\(\Rightarrow1-\left(x+y+z\right)+xy+yz+xz-xyz>0\)
\(\Rightarrow1-2+xy+yz+xz-xyz>0\)
\(\Rightarrow-1+xy+yz+xz-xyz>0\)
\(\Rightarrow2\left(-1+xy+yz+xz-xyz\right)>0\)
\(\Rightarrow-2+2xy+2yz+2xz-2xyz>0\)
\(\Rightarrow-\left(2-2xy-2yz-2xz+2xyz\right)>0\)
\(\Rightarrow2-2xy-2yz-2xz+2xyz< 0\)
\(\Rightarrow4-2xy-2yz-2xz+2xyz< 2\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2-2xy-2yz-2xz+2xyz< 2\) (Vì x+y+z = 2 => (x+y+z)2 = 22 = 4)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz-2xy-2yz-2xz+2xyz< 2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+2xyz< 2\)
=> đpcm
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}y+z-x=a>0\\x+z-y=b>0\\x+y-z=c>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{b+c}{2}\\y=\dfrac{a+c}{2}\\z=\dfrac{a+b}{2}\end{matrix}\right.\)
BĐT cần c/m trở thành: \(\dfrac{b+c}{6a}+\dfrac{c+a}{6b}+\dfrac{a+b}{6c}\ge1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}\right)\ge1\)
Thật vậy, áp dụng BĐT Cô-si ta có:
\(\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}\right)\ge\dfrac{1}{6}.6\sqrt[6]{\dfrac{b.c.c.a.a.b}{a.a.b.b.c.c}}=1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\) hay \(x=y=z\)