Cho tam giác ABC cân tại A. M là trung điểm của cạnh BC. Lấy điểm D bất kì thuộc cạnh BC. H,K lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ D đến các cạnh AB, AC. Chứng minh...
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC cân tại A. M là trung điểm của cạnh BC. Lấy điểm D bất kì thuộc cạnh BC. H,K lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ D đến các cạnh AB, AC. Chứng minh MH=MK.
Ta có: ΔABC cân tại A
mà AM là đường trung tuyến
nên AM\(\perp\)BC và AM là phân giác của \(\widehat{BAC}\)
Gọi O là trung điểm của AD
=>O là tâm đường tròn đường kính AD
Vì \(\widehat{AHD}=\widehat{AMD}=\widehat{AKD}=90^0\)
nên A,H,D,M,K cùng thuộc đường tròn đường kính AD
=>A,H,D,M,K cùng thuộc (O)
Xét (O) có
\(\widehat{MHK}\) là góc nội tiếp chắn cung MK
\(\widehat{MAK}\) là góc nội tiếp chắn cung MK
Do đó: \(\widehat{MHK}=\widehat{MAK}\)(2)
Xét (O) có
\(\widehat{MKH}\) là góc nội tiếp chắn cung MH
\(\widehat{MAH}\) là góc nội tiếp chắn cung MH
Do đó: \(\widehat{MKH}=\widehat{MAH}\left(2\right)\)
Ta có: AM là phân giác của góc BAC
=>\(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\left(3\right)\)
Từ (1),(2),(3) suy ra \(\widehat{MHK}=\widehat{MKH}\)
=>ΔMHK cân tại M
=>MH=MK