tìm giá trị lớn nhất \(\sqrt{x-3}+\sqrt{y-4}\)biết x+y=8
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 8 2021
Lời giải:
a. $y=\sqrt{x^2+x-2}\geq 0$ (tính chất cbh số học)
Vậy $y_{\min}=0$. Giá trị này đạt tại $x^2+x-2=0\Leftrightarrow x=1$ hoặc $x=-2$
b.
$y^2=6+2\sqrt{(2+x)(4-x)}\geq 6$ do $2\sqrt{(2+x)(4-x)}\geq 0$ theo tính chất căn bậc hai số học
$\Rightarrow y\geq \sqrt{6}$ (do $y$ không âm)
Vậy $y_{\min}=\sqrt{6}$ khi $x=-2$ hoặc $x=4$
$y^2=(\sqrt{2+x}+\sqrt{4-x})^2\leq (2+x+4-x)(1+1)=12$ theo BĐT Bunhiacopxky
$\Rightarrow y\leq \sqrt{12}=2\sqrt{3}$
Vậy $y_{\max}=2\sqrt{3}$ khi $2+x=4-x\Leftrightarrow x=1$
c. ĐKXĐ: $-2\leq x\leq 2$
$y^2=(x+\sqrt{4-x^2})^2\leq (x^2+4-x^2)(1+1)$ theo BĐT Bunhiacopxky
$\Leftrightarrow y^2\leq 8$
$\Leftrightarrow y\leq 2\sqrt{2}$
Vậy $y_{\max}=2\sqrt{2}$ khi $x=\sqrt{2}$
Mặt khác:
$x\geq -2$
$\sqrt{4-x^2}\geq 0$
$\Rightarrow y\geq -2$
Vậy $y_{\min}=-2$ khi $x=-2$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 12 2020
Chắc bạn ghi nhầm căn thức thứ 2
\(A2\sqrt{2}=2\sqrt{\left(2x+4\right)\left(x^2-2x+4\right)}+2\sqrt{\left(2y+4\right)\left(y^2-2y+4\right)}+2\sqrt{\left(2z+4\right)\left(z^2-2z+4\right)}\)
\(A2\sqrt{2}\le2x+4+x^2-2x+4+2y+4+y^2-2y+4+2z+4+z^2-2z+4\)
\(A2\sqrt{2}\le x^2+y^2+z^2+24=72\)
\(A\le18\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=4\)
19 tháng 8 2016
A^2 = x + y - 3 + 2√[(x - 2)(y - 3)] <= 1 + (x + y - 3) = 2 vậy A max là √2 khi x = 1,5; y = 2,5
MT
1
13 tháng 10 2017
\(A=\sqrt{x-3}+\sqrt{y-4}\)
\(\le\sqrt{\left(1+1\right)\left(x-3+y-4\right)}=\sqrt{2.1}=\sqrt{2}\)
MA
1
18 tháng 3 2021
\(\Rightarrow M=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x}+\dfrac{\sqrt{y-4}}{y}=\dfrac{\sqrt{\left(x-1\right)\cdot1}}{x}+\dfrac{4\sqrt{y-4}}{4y}\le\dfrac{x-1+1}{2x}+\dfrac{y-4+4}{4y}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}\) Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow x=2;y=8\)
NC
1
I
4 tháng 12 2016
$B = \sqrt{x-4} + \sqrt{12 -x}$
+) $B^2 = 8 + 2\sqrt{(x-4)(12-x)} \geqslant 8 + 2 \cdot 0 = 8 \implies B \geqslant \sqrt{8}$
Vậy $B_\text{min} = \sqrt{8} \iff (x-4)(12-x) = 0 \iff x =4$ hoặc $x =12 \implies (x;y) =\{ (4;11);(12;3)\}$
+) $B^2 = 8 + 2\sqrt{(x-4)(12-x)} = 8 + 2\sqrt{-x^2 + 16x - 48} = 8 + 2\sqrt{-(x-8)^2 + 16} \leqslant 8 + 2\sqrt{16} = 16 \implies B \geqslant 4$
Vậy $B_\text{max} =4 \iff x = 8 \iff (x;y) = (8;7)$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
15 tháng 1 2021
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x=sina\\y=sinb\end{matrix}\right.\) với \(a;b\in\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)\)
\(P=\sqrt{sina}+\sqrt{sinb}+\sqrt[4]{12}.\sqrt{sina.cosb+cosa.sinb}\)
\(P\le\sqrt{2\left(sina+sinb\right)}+\sqrt[4]{12}.\sqrt{sin\left(a+b\right)}\)
Do \(sina+sinb=2sin\dfrac{a+b}{2}cos\dfrac{a-b}{2}\le2sin\dfrac{a+b}{2}\)
\(\Rightarrow P\le2\sqrt{sin\dfrac{a+b}{2}}+\sqrt[4]{12}.\sqrt{sin\left(a+b\right)}=2\sqrt{sint}+\sqrt[4]{12}.\sqrt{sin2t}\)
\(\Rightarrow\dfrac{P}{\sqrt{2}}\le\sqrt{2sint}+\sqrt{\sqrt{3}.sin2t}\Rightarrow\dfrac{P^2}{4}\le2sint+\sqrt{3}sin2t\)
\(\Rightarrow\dfrac{P^2}{8}\le sint\left(1+\sqrt{3}cost\right)\Rightarrow\dfrac{P^4}{64}\le sin^2t\left(1+\sqrt{3}cost\right)^2\le2sin^2t\left(1+3cos^2t\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{P^4}{128}\le sin^2t\left(4-3sin^2t\right)=-3sin^4t+4sin^2t\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{P^4}{128}\le-3\left(sin^2t-\dfrac{2}{3}\right)^2+\dfrac{4}{3}\le\dfrac{4}{3}\)
\(\Rightarrow P\le4.\sqrt[4]{\dfrac{2}{3}}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(sint=\sqrt{\dfrac{2}{3}}\)
Gọi \(A=\sqrt{x-3}+\sqrt{y-4}\)
Ta có : \(A^2=x-3+y-4=2\sqrt{\left(x-3\right)\left(y-4\right)}=x+y-7+2\sqrt{2\left(x-3\right)\left(y-4\right)}\)
\(=1+2\sqrt{\left(x-3\right)\left(y-4\right)}\)
Theo AM - GM ta có : \(2\sqrt{\left(x-3\right)\left(y-4\right)}\le x-3+y-4=x+y-7=8-7=1\)
\(\Rightarrow A^2\le1+1=2\Rightarrow A\le\sqrt{2}\)Có GTLN là \(\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x-3=y-4\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-y=-1\\x+y=8\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{7}{2}\\y=\frac{9}{2}\end{cases}}}\)