Question

[Nhok HI]

Cho lăng trụ ABCA'B'C. H là trung điểm của B'C'. AH vuông góc với (A'B'C'). Tam giác ABC đều cạnh a. Góc giữa AA' và đáy băng 60° Cho lăng trụ ABCA'B'C. H là trung điểm của B'C'. AH vuông góc với (A'B'C'). Tam giác ABC đều cạnh a. Góc giữa AA' và đáy băng 60°.
a) Tính AH
b) Tính góc nhị diện [A, A'B',C']
c) Tính góc nhị diện [B,B'C',A']
d) Tính thể tích của lăng trụ

Answer 1

[Lê Song Phương]

a) Có \(A'H=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\). Lại có \(AH\perp\left(A'B'C'\right)\) tại H nên \(\widehat{AA',\left(A'B'C'\right)}=\widehat{AA'H}=60^o\)

\(\Rightarrow AH=A'H.\tan60^o\) \(=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\sqrt{3}=\dfrac{3a}{2}\)

b) Kẻ \(HK\perp A'B'\) tại K, \(HL\perp AK\) tại L.

 Ta thấy \(A'B'\perp KH\) và \(A'B'\perp AH\) nên \(A'B'\perp\left(AHK\right)\) 

 \(\Rightarrow A'B'\perp HL\)

Mà \(HL\perp AK\) nên \(HL\perp\left(AA'B\right)\) \(\Rightarrow\left(AHK\right)\perp\left(AA'B\right)\)

Hơn nữa có \(AH\perp\left(A'B'C'\right)\) nên \(\left(AHK\right)\perp\left(A'B'C'\right)\)

Do đó góc nhị diện \(\left[A,A'B',C'\right]\) chính là \(\widehat{AKH}\)

Ta có \(\dfrac{1}{HK^2}=\dfrac{1}{HA'^2}+\dfrac{1}{HB'^2}\) \(=\dfrac{1}{\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2}+\dfrac{1}{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}\) \(=\dfrac{16}{3a^2}\)

\(\Rightarrow HK=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\)

\(\Rightarrow\widehat{AKH}=\tan^{-1}\left(\dfrac{AH}{KH}\right)\) \(=\tan^{-1}\left(\dfrac{\dfrac{3a}{2}}{\dfrac{a\sqrt{3}}{4}}\right)\) \(=\tan^{-1}\left(2\sqrt{3}\right)\) \(\approx73,9^o\)

Vậy ...

c) Gọi M là trung điểm BC. Khi đó dễ thấy tứ giác AMHA' là hình bình hành.  Kẻ \(AX\perp HM\) tại X.

Ta có \(BC\perp AM\) và \(BC\perp AH\) nên \(BC\perp\left(AMH\right)\)

\(\Rightarrow BC\perp AX\). Lại có \(AX\perp HM\) nên \(AX\perp\left(BB'C'\right)\) 

\(\Rightarrow\left(AA'HM\right)\perp\left(BB'C'\right)\)

Hơn nữa vì \(AH\perp\left(A'B'C'\right)\) nên \(\left(AA'HM\right)\perp\left(A'B'C'\right)\)

Do đó góc nhị diện \(\left[B,B'C',A'\right]\) chính là \(\widehat{A'HM}=90^o+\widehat{AHM}=90^o+\widehat{A'AH}=90^o+30^o=120^o\)

d) \(S_đ=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\)

\(\Rightarrow V_{lt}=S_đ.h\) \(=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}.\dfrac{3a}{2}\) \(=\dfrac{3a^2\sqrt{3}}{8}\) (đvtt)