cho tam giác abc, 3 đường trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh rằng AD,BE,CF là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
12 tháng 5 2017
a) Xét \(\Delta ABC\): \(D\)là trung điểm của \(BC\), \(E\)là trung điểm của \(AC\)\(\Rightarrow\)\(ED\)là đường trung bình của \(\Delta ABC\).
\(\Rightarrow ED\)//\(AB\)và \(ED=\frac{1}{2}AB\). \(F\)là trung điểm của \(AB\)\(\Rightarrow ED=AF=FB=\frac{1}{2}AB\)
\(ED\)//\(AB\Rightarrow ED\)//\(AF\Rightarrow ID\)//\(AF\). Mà \(FI\)//\(AD\).
\(\Rightarrow FI=AD\)và \(ID=AF\)(Tính chất đoạn chắn)
Mà \(ED=AF\Rightarrow ED=ID\).
Xét \(\Delta EDB\)và \(\Delta IDC:\)
\(DB=DC\)
\(\widehat{EDB}=\widehat{IDC}\)(Đối đỉnh) \(\Rightarrow\Delta EDB=\Delta IDC\)\(\left(c.g.c\right)\)
\(ED=ID\)
\(\Rightarrow\widehat{BED}=\widehat{CID}\)(2 góc tương ứng) và 2 góc này nằm ở vị trí so le trong \(\Rightarrow IC\)//\(BE\)
Đồng thời \(IC=BE\)(2 cạnh tương ứng)
b) \(AD\)//\(FI\Rightarrow\widehat{AGE}=\widehat{FHG}\Rightarrow\widehat{FHG}=90^0\)(Đồng vị). Mà \(BE\)//\(IC\)\(\Rightarrow\widehat{FHB}=\widehat{FIC}=90^0\)(Đồng vị)
\(\Rightarrow\Delta ICF\)là tam giác vuông tại \(I\).
Ta có: \(FI=AD\),\(IC=BE\)(cmt) \(\Rightarrow FI+IC+CF=AD+BE+CF\)(đpcm)
19 tháng 2 2022
Ta có: ΔABC đều
mà AD,BE,CF là các đường trung tuyến
nên AD,BE,CF vừa là đường cao vừa là phân giác
5 tháng 4 2023
Xét ΔABC có
AD,BE,CF là trung tuyến
AD,BE,CF cắt nhau tai G
=>G là trọng tâm
=>BG=2/3BE=2BM và CG=2/3CF=2CN
=>M,N lần lượt là trung điểm của GB,GC
=>GD,CM,BN đồng quy
=>AD,CM,BN đồng quy
15 tháng 8 2019
Câu hỏi của ✎﹏ Ƈøｏȴ _ Ǥɩ®ʆ _☜♥☞ ✓ - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảo nhé!
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD tại M.
Khi đó \(\widehat{DCA}=\widehat{DBM}\) (2 góc so le trong)
Xét 2 tam giác DAC và DMB, ta có:
\(\widehat{DCA}=\widehat{DBM}\left(cmt\right);\) \(DC=DB\) (do AD là trung tuyến của tam giác ABC) và \(\widehat{ADC}=\widehat{BDM}\) (2 góc đối đỉnh)
Do đó \(\Delta DAC=\Delta DMB\left(g.c.g\right)\)
\(\Rightarrow MB=AC\) và \(DA=DM\Rightarrow\) D là trung điểm AM \(\Rightarrow DM=2DA\)
Trong tam giác ABM, ta có \(AM< AB+BM\)
Lại có \(DM=2DA;MB=AC\left(cmt\right)\) \(\Rightarrow2AD< AB+AC\)
\(\Rightarrow AD< \dfrac{AB+AC}{2}\)
\(\Rightarrow AD< \dfrac{AB}{2}+\dfrac{AC}{2}\)
\(\Rightarrow AD< BF+CE\) (1)
Trong tam giác GBF, có \(BF< GB+GF\), trong tam giác GCE có \(CE< GC+GE\)
Cộng theo vế 2 bất đẳng thức trên, thu được \(BF+CE< GF+GB+GE+GC\)
hay \(BF+CE< \left(GB+GE\right)+\left(GC+GF\right)\)
hay \(BF+CE< BE+CF\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AD< BE+CF\)
Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được \(BE< AD+CF\) và \(CF< AD+BE\). Do đó AD, BE, CF là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác (đpcm)