cho tam giác ABC, 3 đường cao AD,BE và CF. Gọi M,N,I,K lần lượt là hình chiếu của D trên AB,ÁC,BÉ,CF Chứng minh rằng điểm M,N,I,K thẳng hàng
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
cậu ơi chứng minh 3 4 điểm ấy thuộc đường thẳng // với EF nhé
ai biết phim hoạt hình gì ko phim hoạt hình có phép thuật ệ chỉ cho mình với
b: góc HID+góc HKD=180 độ
=>HIDK nội tiếp
=>góc HIK=góc HDK
=>góc HIK=góc HCB
=>góc HIK=góc HEF
=>EF//IK
Nối E và F
Xét tam giác AID ta có:
MF//DI( cùng vuông góc AB)
=>\(\dfrac{AF}{AI}=\dfrac{AM}{AD}\)(Đlý talet)(1)
Xét tam giác AEN ta có
EM//DN( cùng vuông góc AC)
=> \(\dfrac{AE}{AN}=\dfrac{AM}{AD}\) (Đlý talet)(2)
Từ (1) và(2) suy ra
\(\dfrac{AE}{AN}=\dfrac{AF}{AI}\)
=>EF//IN
Xét tam giác BFC ta có
DI//CF( cùng vuông góc AB)
=>\(\dfrac{BI}{BF}=\dfrac{BD}{BC}\)(Thales)(3)
Xét tam giác BEC, tam giác BEC, tam giác BFC chứng minh tương tự(Tu chứng minh tương tự nhoa)
Ta được \(\dfrac{BK}{BE}=\dfrac{BD}{BC}\)(4)
\(\dfrac{CN}{CE}=\dfrac{CD}{BC}\) (5)
\(\dfrac{CM}{CF}=\dfrac{CD}{BC}\)(6)
Từ (3) và (4)=> \(\dfrac{BI}{BF}=\dfrac{BK}{BE}\)=> KI//EF
Từ (5) và (6)=>\(\dfrac{CN}{CE}=\dfrac{CD}{BC}\)=> MN//EF
Ta có
IN//EF(cmt)
IK//EF(cmt)
MN//EF(cmt)
=> I,N,K,M thẳng hàng
Nối E và F
Xét tam giác AID ta có:
MF//DI( cùng vuông góc AB)
=>\(\dfrac{AF}{AI}=\dfrac{AM}{AD}\)(Đlý talet)(1)
Xét tam giác AEN ta có
EM//DN( cùng vuông góc AC)
=> \(\dfrac{AE}{AN}=\dfrac{AM}{AD}\) (Đlý talet)(2)
Từ (1) và(2) suy ra
\(\dfrac{AE}{AN}=\dfrac{AF}{AI}\)
=>EF//IN
Xét tam giác BFC ta có
DI//CF( cùng vuông góc AB)
=>\(\dfrac{BI}{BF}=\dfrac{BD}{BC}\)(Thales)(3)
Xét tam giác BEC, tam giác BEC, tam giác BFC chứng minh tương tự(Tu chứng minh tương tự nhoa)
Ta được \(\dfrac{BK}{BE}=\dfrac{BD}{BC}\)(4)
\(\dfrac{CN}{CE}=\dfrac{CD}{BC}\) (5)
\(\dfrac{CM}{CF}=\dfrac{CD}{BC}\)(6)
Từ (3) và (4)=> \(\dfrac{BI}{BF}=\dfrac{BK}{BE}\)=> KI//EF
Từ (5) và (6)=>\(\dfrac{CN}{CE}=\dfrac{CD}{BC}\)=> MN//EF
Ta có
IN//EF(cmt)
IK//EF(cmt)
MN//EF(cmt)
=> I,N,K,M thẳng hàng
Gọi H là trực tâm tam giác ABC.
Xét tứ giác BMID có \(\widehat{BMD}=\widehat{BID}=90^o\Rightarrow\) BMID là tứ giác nội tiếp.
\(\Rightarrow\widehat{MIB}=\widehat{MDB}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung)
Xét tứ giác IHKD có\(\widehat{DIH}=\widehat{DKH}=90^o\Rightarrow\widehat{DIK}=\widehat{DHK}\)
Lại có \(\widehat{DHK}=\widehat{AHF}\) (đổi đỉnh) nên \(\widehat{DHK}=\widehat{ABD}\)
Tóm lại ta có \(\widehat{DIK}=\widehat{ABD};\widehat{MIB}=\widehat{BDM}\)
Hay \(\widehat{MIB}+\widehat{BID}+\widehat{DIN}=\widehat{MDB}+90^o+\widehat{MBD}=90^o+90^o=180^o\)
Vậy M, I, K thẳng hàng.
Hoàn toàn tương tự I, K , N thẳng hàng.
Vậy nên M, N, I, K thẳng hàng.