`x=by+cz,y=ax+cz,z=ax+by`. CMR: \(\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}=2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
J
Cho x = by + cz ; y = ax + cz; z = ax + by.
\(CMR:A=\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}=2\)
1
6 tháng 2 2018
Ta có
\(x-y=\left(by+cz\right)-\left(ax+cz\right)=by-ax\)
\(\Leftrightarrow x\cdot\left(a+1\right)=y\cdot\left(b+1\right)\)
\(y-z=\left(ax+cz\right)-\left(ax+by\right)=cz-by\)
\(\Leftrightarrow z\cdot\left(c+1\right)=y\cdot\left(b+1\right)\)
\(x-z=\left(by+cz\right)-\left(ax+by\right)=cz-ax\)
\(\Leftrightarrow x\cdot\left(a+1\right)=z\cdot\left(c+1\right)\)
\(\Rightarrow x\cdot\left(a+1\right)=z\cdot\left(c+1\right)=y\left(b+1\right)\)
Đặt \(x\cdot\left(a+1\right)=z\cdot\left(c+1\right)=y\left(b+1\right)=k\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+1=\dfrac{k}{x}\\b+1=\dfrac{k}{y}\\c+1=\dfrac{k}{z}\end{matrix}\right.\)
Thay vào A, ta có :
\(A=\dfrac{1}{\dfrac{k}{x}}+\dfrac{1}{\dfrac{k}{y}}+\dfrac{1}{\dfrac{k}{z}}\)
\(=\dfrac{x}{k}+\dfrac{y}{k}+\dfrac{z}{k}\)
=\(\dfrac{x+y+z}{k}\)
Vì z = ax + by; x = cz + by; y = ax + cz nen :
\(k=z\cdot\left(c+1\right)=cz+z=cz+ax+by\)
\(\Rightarrow A=\dfrac{2\cdot\left(ax+by+czz\right)}{ax+by+cz}=2\)
⇒ĐPCM
11 tháng 1 2021
Đặt \(ax^3=by^3=cz^3=k\).
Khi đó ta có:
\(VT=\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{\dfrac{k}{x}+\dfrac{k}{y}+\dfrac{k}{z}}=\sqrt[3]{k\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)}=\sqrt[3]{k}\).
\(VP=\sqrt[3]{\dfrac{k}{x^3}}+\sqrt[3]{\dfrac{k}{y^3}}+\sqrt[3]{\dfrac{k}{z^3}}=\sqrt[3]{k}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=\sqrt[3]{k}\).
Từ đó ta có đpcm.
11 tháng 1 2021
Ta có: ax3 = \(\dfrac{ax^2}{\dfrac{1}{x}}\)
Tương tự ta có: ax3 = by3 = cz3
hay \(\dfrac{ax^2}{\dfrac{1}{x}}=\dfrac{by^2}{\dfrac{1}{y}}=\dfrac{cz^2}{\dfrac{1}{z}}=\dfrac{ax^2+by^2+cz^2}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}\) = ax2 + by2 + cz2 (T/c dãy tỉ số bằng nhau)
\(\Rightarrow\) \(\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{ax^3}=\sqrt[3]{by^3}=\sqrt[3]{cz^3}\)
= \(\dfrac{\sqrt[3]{a}}{\dfrac{1}{x}}=\dfrac{\sqrt[3]{b}}{\dfrac{1}{y}}=\dfrac{\sqrt[3]{c}}{\dfrac{1}{z}}=\dfrac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\) (đpcm)
Chúc bn học tốt!
25 tháng 6 2021
Bài này hình như có lần làm rồi :))
Đặt `ax^3=by^3=cz^3=k^3`
`=>a=k^3/x^3,b=k^3/y^3,c=k^3/z^3`
`=>root{3}{a}+root{3}{b}+root{3}{c}=k/x+k/y+k/z=k(1/x+1/y+1/z)=k(1)`
`**:ax^2+by^2+cz^2=(ax^3)/x+(by^3)/y+(cz^3)/z=k^3/x+k^3/y+k^3/z=k^3(1/x+1/y+1/z)=k^3`
`=>root{3}{ax^2+by^2+cz^2}=k(2)`
`(1)(2)=>ĐPCM`
AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 11 2018
Lời giải:
Đặt \(ax^3=by^3=cz^3=k^3\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{k^3}{x^3}\\ b=\frac{k^3}{y^3}\\ c=\frac{k^3}{z^3}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt[3]{a}=\frac{k}{x}\\ \sqrt[3]{b}=\frac{k}{y}\\ \sqrt[3]{c}=\frac{k}{z}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}=k\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=k(*)\)
Mặt khác theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
\(k^3=ax^3=by^3=cz^3=\frac{ax^2}{\frac{1}{x}}=\frac{by^2}{\frac{1}{y}}=\frac{cz^2}{\frac{1}{z}}=\frac{ax^2+by^2+cz^2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}=ax^2+by^2+cz^2\)
\(\Rightarrow k=\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}(**)\)
Từ $(*)$ và $(**)$ ta có đpcm.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
12 tháng 4 2018
Lời giải:
Ta có:
\(\left\{\begin{matrix} x=by+cz\\ y=ax+cz\\ z=ax+by\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x-y=by-ax\\ z=ax+by\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x-y+z=2by\Rightarrow b=\frac{x+z-y}{2y}\)
Hoàn toàn tương tự ta nhận được:
\(a=\frac{y+z-x}{2x};c=\frac{x+y-z}{2z}\)
Suy ra:
\(\left\{\begin{matrix} a+1=\frac{x+y+z}{2x}\\ b+1=\frac{x+y+z}{2y}\\ c+1=\frac{x+y+z}{2z}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=2\) (ĐPCM)
Cộng vế với vế:
\(\Rightarrow x+y+z=2ax+2by+2cz\)
\(\Rightarrow x+y+z-2x=2ax+2by+2cx-2\left(by+cz\right)=2ax\)
\(\Rightarrow2ax=y+z-x\)
\(\Rightarrow a=\dfrac{y+z-x}{2x}\Rightarrow1+a=\dfrac{x+y+z}{2x}\)
Tương tự ta có: \(1+b=\dfrac{x+y+z}{2y}\) ; \(1+c=\dfrac{x+y+z}{2z}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}=\dfrac{2x+2y+2z}{x+y+z}=2\)