Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông O, SA vuông góc với (ABCD). Gọi H,I,K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB,SC,SD. Chứng minh rằng:
a, BC vuông góc với (SAB), CD vuông góc với (SAD)
b, (SAC) là mặt phẳng trung trực của đoạn BD
c, AH, AK cùng vuông góc với SC. Từ đó suy ra ba đường AH,AI,AK cùng nằm trong một mặt phẳng
a.
\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BC\\BC\perp AB\left(gt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\)
\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp CD\\AD\perp CD\left(gt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow CD\perp\left(SAD\right)\)
b.
\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BD\\BD\perp AC\left(\text{ hai đường chéo hình vuông}\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow BD\perp\left(SAC\right)\)
Mà (SAC) đi qua trung điểm O của BD
\(\Rightarrow\left(SAC\right)\) là mp trung trực của BD
c.
Theo câu a ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}BC\perp\left(SAB\right)\\AH\in\left(SAB\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp AH\)
Mà \(AH\perp SB\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow AH\perp\left(SBC\right)\Rightarrow AH\perp SC\)
Lại có \(AI\perp SC\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow SC\perp\left(AIH\right)\) (1)
Tương tự, ta chứng minh được \(AK\perp\left(SCD\right)\Rightarrow AK\perp SC\)
\(\Rightarrow SC\perp\left(AIK\right)\) (2)
(1);(2) \(\Rightarrow\left(AIH\right)\) trùng \(\left(AIK\right)\) hay 3 đường AH, AI, AK cùng nằm trong 1 mp