Question

[Homin]

Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB cố định. Vẽ đường kính MN của đường tròn (O;R) (M khác A, M khác B). Tiếp tuyến của đường tròn (O;R) tại B cắt AM, AN lần lượt tại các điểm Q,P. Chứng minh M, N, P, Q thẳng hàng

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

Sửa đề: M,N,P,Q cùng thuộc một đường tròn

Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

=>BM\(\perp\)AQ tại M

Xét (O) có

ΔBNA nội tiếp

BA là đường kính

Do đó: ΔBNA vuông tại N

=>BN\(\perp\)AP

Xét ΔABQ vuông tại B có BM là đường cao

nên \(AM\cdot AQ=AB^2\left(1\right)\)

Xét ΔABP vuông tại B có BN là đường cao

nên \(AN\cdot AP=AB^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AM\cdot AQ=AN\cdot AP\)

=>\(\dfrac{AM}{AP}=\dfrac{AN}{AQ}\)

Xét ΔAMN và ΔAPQ có

\(\dfrac{AM}{AP}=\dfrac{AN}{AQ}\)

\(\widehat{MAN}\) chung

Do đó: ΔAMN đồng dạng với ΔAPQ

=>\(\widehat{AMN}=\widehat{APQ}\)

mà \(\widehat{AMN}+\widehat{QMN}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{QMN}+\widehat{QPN}=180^0\)

=>MNPQ là tứ giác nội tiếp

=>M,N,P,Q cùng thuộc một đường tròn