Question

[Đào Trí Bình]

Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BN, CP và G là trọng tâm. Chứng minh rằng BN + CP > 3/2 BC.

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

Ta có

\(BG=\dfrac{2}{3}BN\) (t/c đường trung tuyến) \(\Rightarrow BN=\dfrac{3}{2}BG\)

\(CG=\dfrac{2}{3}CP\) (t/c đường trung tuyến) \(\Rightarrow CP=\dfrac{3}{2}CG\)

\(\Rightarrow BN+CP=\dfrac{3}{2}\left(BG+CG\right)\) (1)

Xét tg BCG có

\(BG+CG>BC\) (trong tg tổng 2 cạnh lớn hơn cạnh còn lại)

\(\Rightarrow\dfrac{3}{2}\left(BG+CG\right)>\dfrac{3}{2}BC\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow BN+CP>\dfrac{3}{2}BC\left(dpcm\right)\)