Question

[camcon]

Tìm m để hàm số y = \(\dfrac{3x}{\sqrt{2sin^2x-m.sinx+1}}\) xác định trên R 

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Dạng này lâu quá quên cách làm rồi, thử vài cách xem cái nào tối ưu:

Sử dụng tam thức bậc 2:

Hàm xác định trên R khi:

\(2sin^2x-m.sinx+1>0;\forall x\in R\)

Đặt \(sinx=t\in\left[-1;1\right]\)

\(\Rightarrow f\left(t\right)=2t^2-m.t+1>0;\forall t\in\left[-1;1\right]\)

\(\Delta=m^2-8\)

TH1: \(\Delta< 0\Rightarrow-2\sqrt{2}< m< 2\sqrt{2}\)

Khi đó \(f\left(t\right)>0;\forall t\in R\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta=0\\-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{m}{4}\notin\left[-1;1\right]\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow\) ko có m thỏa mãn

TH3:  \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\t_1< t_2< -1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-8>0\\f\left(-1\right)=m+3>0\\\dfrac{t_1+t_2}{2}=\dfrac{m}{4}< -1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\in\varnothing\)

TH4: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\1< t_1< t_2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-8>0\\f\left(1\right)=3-m>0\\\dfrac{t_1+t_2}{2}=\dfrac{m}{4}>1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\in\varnothing\)

Vậy \(-2\sqrt{2}< m< 2\sqrt{2}\)

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

- Sử dụng hẳng đẳng thức:

\(2sin^2x-m.sinx+1>0\)

\(\Leftrightarrow16sin^2x-8m.sinx+8>0\)

\(\Leftrightarrow\left(4sinx-m\right)^2-m^2+8>0\)

\(\Leftrightarrow\left(4sinx-m\right)^2>m^2-8\) (1)

TH1: \(m^2-8< 0\Rightarrow\) BPT luôn đúng

TH2: \(m^2-8\ge0\), khi đó (1) tương đương:

\(\left[{}\begin{matrix}4sinx-m>\sqrt{m^2-8}\\4sinx-m< -\sqrt{m^2-8}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}4sinx>m+\sqrt{m^2-8}\\4sinx< m-\sqrt{m^2-8}\end{matrix}\right.\)

Do \(sinx\in\left[-1;1\right]\) nên điều này đúng vói mọi x khi và chỉ khi:

\(\left[{}\begin{matrix}-4>m+\sqrt{m^2-8}\\4< m-\sqrt{m^2-8}\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}-1>\dfrac{m+\sqrt{m^2-8}}{4}\\1< \dfrac{m-\sqrt{m^2-8}}{4}\end{matrix}\right.\)(2)

Giải 2 cái này ra là được.

À, đến đây phát hiện ra 1 điều, thực chất \(\dfrac{m\pm\sqrt{m^2-8}}{4}\) chính là 2 nghiệm \(t_1;t_2\) của pt

\(2t^2-mt+1=0\), và 2 BPT (2) kia cũng chính là \(\left[{}\begin{matrix}t_1< t_2< -1\\1< t_1< t_2\end{matrix}\right.\) của cách 1

Vậy về cơ bản 2 cách này giống nhau về phần lõi, chỉ khác về cách trình bày