Cho n \(\in\)Z:
CMR:[\(\frac{n}{2}\)] + [\(\frac{n+1}{2}\)] = n
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 9 2019
\(\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{\left(n+1\right)^2}}=\sqrt{\frac{n^2+\left(n+1\right)^2+\left(n^2+n\right)^2}{\left(n^2+n\right)^2}}\)
\(=\sqrt{\frac{2n^2+2n+1+\left(n^2+n\right)^2}{\left(n^2+n\right)^2}}=\sqrt{\frac{1+2\left(n^2+n\right)+\left(n^2+n\right)^2}{\left(n^2+n\right)^2}}\)
\(=\sqrt{\frac{\left(n^2+n+1\right)^2}{\left(n^2+n\right)^2}}=\frac{n^2+n+1}{n^2+n}=1+\frac{1}{n\left(n+1\right)}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 5 2019
Đặt \(A=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\Rightarrow A>1\)
\(A< 1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}\)
\(\Rightarrow A< 1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)
\(\Rightarrow A< 2-\frac{1}{n}< 2\)
\(\Rightarrow1< A< 2\Rightarrow A\) nằm giữa 2 số tự nhiên liên tiếp nên A không phải là 1 số tự nhiên
1 tháng 1 2017
Do p là số nguyên tố nên \(p-1\) là số chẵn , suy ra : \(\frac{m}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{p-1}\)
\(=\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{p-1}\right)+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{p-2}\right)+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{p-3}\right)+...+\left(\frac{1}{\frac{p-1}{2}}+\frac{1}{\frac{p+1}{2}}\right)\)
\(=\frac{p}{1.\left(p-1\right)}+\frac{p}{2.\left(p-2\right)}+\frac{p}{3.\left(p-3\right)}+...+\frac{p}{\left(\frac{p-1}{2}\right)\left(\frac{p+1}{2}\right)}\)
\(=p\left[\frac{1}{1.\left(p-1\right)}+\frac{1}{2.\left(p-2\right)}+\frac{1}{3.\left(p-3\right)}+...+\frac{1}{\left(\frac{p-1}{2}\right)\left(\frac{p+1}{2}\right)}\right]\)
Ta có : \(1.\left(p-1\right).2.\left(p-2\right)...\frac{p-1}{2}.\frac{p+1}{2}=\left(p-1\right)!\)
Suy ra : \(\frac{m}{n}\) có dạng :
\(\frac{m}{n}=p\frac{q}{\left(p-1\right)!}\Rightarrow m\left(p-1\right)!=npq\Rightarrow m\left(p-1\right)!⋮p\)mà \(\left(p-1\right)!⋮̸p\) nên \(\Rightarrow m⋮p\).
Chúc bạn học tốt nha !!!
1 tháng 1 2017
\(\frac{m}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{p-1}\)
\(\frac{m}{n}=\left(1+\frac{1}{p-1}\right)+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{p-2}\right)+...+\)\(\left(\frac{1}{\left(p-1\right):2}+\frac{1}{\left(p-1\right):2+1}\right)\)
\(\frac{m}{n}=p.\)(\(\frac{1}{1.\left(p-1\right)}+\frac{1}{2.\left(p-2\right)}+...+\)\(\frac{1}{\left[\left(p-1\right):2\right].\left[\left(p-1\right):2+1\right]}\))
MC: 1.2.3...(p-1)
Gọi các thừa số phụ lần lượt là: k1;k2;k3;...;kp-1
Khi đó, \(\frac{m}{n}=\frac{p.\left(k_1+k_2+k_3+...+k_{p-1},\right)}{1.2.3...\left(p-1\right)}\)
Do p nguyên tố > 2 mà mẫu không chứa thừa số p nên đến khi rút gọn tử số vẫn chứa thừa số nguyên tố p
=> m chia hết cho p (đpvm)
DL
6 tháng 3 2019
Bạn tham khảo tại đây nha!!
https://olm.vn/hoi-dap/detail/105992780559.html
Học tốt!!
N
6 tháng 3 2019
\(Sn=1-1+1-\frac{1}{2^2}+1-\frac{1}{3}^2+...+1-\frac{1}{n^2}=n-\left(1+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)< n\)(1)
\(Sn>n-\left[\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+....+\frac{1}{\left(n+1\right).n}\right]=n-\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=n-1+\frac{1}{n+1}>n-1\)(2)
từ (1) và (2) => n-1<Sn<n => Sn k là số nguyên
24 tháng 6 2018
Ta có :
\(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2}\)
\(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}\)
\(\frac{1}{4^2}< \frac{1}{3.4}\)
\(............\)
\(\frac{1}{n^2}< \frac{1}{\left(n-1\right)n}\)
\(\Rightarrow\)\(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}\)
\(\Rightarrow\)\(A< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}\)
\(\Rightarrow\)\(A< \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)
\(\Rightarrow\)\(A< 1-\frac{1}{n}< 1\)
Vậy \(A< 1\)
Chúc bạn học tốt ~
NL
0
3 tháng 2 2017
a) A = n/3 + n2/2 + n3/6
A = 2n+3n2+n3/6
A = 2n+2n2+n2+n3/6
A = (n+1)(2n+n2)/6
A = n(n+1)(n+2)/6
Vì n(n+1)(n+2) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3
Mà (2;3)=1 => n(n+1)(n+2) chia hết cho 6
Hay A thuộc Z (đpcm)
b) B = n4/24 + n3/4 + 11n2/24 + n/4
B = n4+6n3+11n2+6n/24
B = n(n3+6n2+11n+6)/24
B = n(n3+n2+5n2+5n+6n+6)/24
B = n(n+1)(n2+5n+6)/24
B = n(n+1)(n2+2n+3n+6)/24
B = n(n+1)(n+2)(n+3)/24
Vì n(n+1)(n+2)(n+3) là tích 4 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 8 và 3
Mà (8;3)=1 => n(n+1)(n+2)(n+3) chia hết cho 24
Hay B nguyên (đpcm)
Ta có:\(\frac{n}{2}+\frac{n+1}{2}=n\)
\(\Leftrightarrow\frac{2n+1}{2}=n\)
\(\Leftrightarrow2n+1=2n\)
\(\Leftrightarrow0n=1\)
Do đó ko thể chứng minh đc
Cách làm có phải là các làm phần nguyên phần lẻ của một số hữu tỉ ko