Question

[Đức Trần]

HELP ME PỜ-LI-SỪ

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét (O) có

CM,CA là các tiếp tuyến

Do đó: CM=CA và OC là phân giác của góc MOA

Ta có: OC là phân giác của góc MOA

=>\(\widehat{MOA}=2\cdot\widehat{MOC}\)

Xét (O) có

DM,DB là các tiếp tuyến

Do đó: DM=DB và OD là phân giác của góc MOB

OD là phân giác của góc MOB

=>\(\widehat{MOB}=2\cdot\widehat{MOD}\)

Ta có: \(\widehat{MOA}+\widehat{MOB}=180^0\)(hai góc kề bù)

=>\(2\cdot\left(\widehat{MOC}+\widehat{MOD}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\widehat{COD}=180^0\)

=>\(\widehat{COD}=90^0\)

Xét ΔCOD vuông tại O có OM là đường cao

nên \(MC\cdot MD=OM^2\)

mà OM=R; MC=CA; DM=DB

nên \(AC\cdot BD=R^2\)

b: Gọi E là trung điểm của CD

Xét hình thang ABDC có

O,E lần lượt là trung điểm của AB,CD

=>OE là đường trung bình của hình thang ABDC

=>OE//AC//BD

Ta có: OE//AC

AC\(\perp\)AB

Do đó: OE\(\perp\)AB

Ta có: ΔOCD vuông tại O

mà OE là đường trung tuyến

nên EO=EC=ED

=>E là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔOCD

E là trung điểm của CD

=>E là tâm đường tròn đường kính CD

Xét (E) có

EO là bán kính

AB\(\perp\)EO tại O

Do đó; AB là tiếp tuyến của (E)

hay AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD

c: Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

Ta có: CM=CA

=>C nằm trên đường trung trực của MA(1)

Ta có: OM=OA

=>O nằm trên đường trung trực của MA(2)

Từ (1) và (2) suy ra OC là đường trung trực của MA

=>OC\(\perp\)MA tại N

Xét tứ giác ONMK có

\(\widehat{ONM}=\widehat{NMK}=\widehat{NOK}=90^0\)

nên ONMK là hình chữ nhật

=>OM=NK và \(\widehat{OKM}=90^0\)

=>OD\(\perp\)MB tại K

Xét ΔODM vuông tại M có MK là đường cao

nên \(OM^2=OK\cdot OD\)

=>\(OK\cdot OD=NK^2\)