Cho hình bình hành ABCD có diện tích S. Gọi M, N, I, K theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Gọi E, F theo thứ tự là giao điểm của KB với AI và MC. Gọi H và G theo thứ tự là giao điểm của DN với AI và MC.
a. CM: S_EFGH=2/5 S_AMCI
b. Tính S_EFGH theo S
xin lỗi nhé mình ko biết
a) - Xét tứ giác AMCI , có :
+ AM // CI ( GT )
+ AM = CI ( GT )
=> AMCI là hình bình hành ( 2 cạnh đối song song và bằng nhau )
=> AI // MC hay EH // FG (1)
- XÉt tứ giác BNDK có :
+ BN // DK ( GT )
+ BN = DK ( GT : N , K lần lượt là trung điểm BC , DA và BC = DA )
=> BNDK là hình bình hành ( 2 cạnh đối song song và bằng nhau )
=> BK // DN hay EF // HG ( 2)
- Từ 1 và 2 ta có : EFGH là hình bình hành ( các cặp cạnh đối song song )
- Kẻ FQ vuông góc AI tai Q
=> \(S_{EFGH\:}=FQ.EH\)
- Mặt khác : \(S_{AMCI}=FQ.AI\)( Vì MC // AI nên FQ là đường cao chung )
=> \(\frac{S_{EFGH\:}}{S_{AMCI}}=\frac{FQ.EH}{FQ.AI}=\frac{EH}{AI}\)(3)
- LẠi có :
+ Xét tam giác AHD có : KE // DH và K là trung điểm của AD nên => E là trung điểm của AH hay AE = EH
+ Xét tam giác DCG có : HI // CG , I là trung điểm của DC nên => H là trung diểm của DG => HI là đường trung bình của tam giác DCG => \(HI=\frac{1}{2}.CG\)mà CG = FG = EH nên \(HI=\frac{1}{2}.EH\)
=> \(AI=AE+EH+HI=2.EH+\frac{1}{2}.EH=\frac{5.EH}{2}\)
Thay vào 3 , ta được :
\(\frac{S_{EFGH\:}}{S_{AMCI}}=\frac{EH}{AI}=EH:\frac{5.EH}{2}=\frac{2.EH}{5.EH}=\frac{2}{5}\)
b) - Kẻ AP vuông góc với CD tại Q
- Ta có : \(S_{ABCD}=AP.CD\)và \(S_{AMCI}=AP.CI\)
=> \(\frac{S_{AMCI}}{S_{ABCD}}=\frac{AP.CI}{AP.CD}=\frac{CI}{CD}=\frac{1}{2}\Rightarrow S_{AMCI}=\frac{1}{2}.S_{ABCD}\)
Từ ý a , ta có : \(S_{EFGH\:}=\frac{2}{5}.SAMCI=\frac{2}{5}.\frac{1}{2}.S_{ABCD}=\frac{1}{5}.S_{ABCD}\)
MÀ ABCD có diện tích là S nên \(S_{EFGH\:}=\frac{1}{5}.S\)