Question

[Big City Boy]

Tính tổng các cạnh của một hình hộp chữ nhật, biết rằng thể tích của chúng bằng \(a^3\), diện tích toàn phần của nó bằng \(2ma^2\) và các cạnh lập thành một cấp số nhân

Answer 1

[HT.Phong (9A5)]

Do các cạnh của hình hộp chữ nhật là một cấp số nhân nên đặt q là công bội của cấp số nhân ta có lần lượt các cạnh là: \(x;xq;xq^2\) 

Theo đề bài ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x\cdot xq\cdot xq^2=a^3\\2\cdot x\cdot\left(xq+xq^2\right)+2\cdot xq\cdot xq^2=2ma^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^3q^3=a^3\\2x\cdot\left(xq+xq^2\right)+2x^2q^3=2ma^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xq=a\\2xq\left(x+xq\right)+2x^2q^3=2ma^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xq=a\\2a\left(x+a\right)+2a^2q=2ma^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xq=a\\2ax+2a^2+2a^2q=2ma^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xq=a\\ax+a^2+a^2q=ma^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xq=a\\x+a+aq=ma\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\cdot aq=a^2\\x+aq=a\left(m-1\right)\end{matrix}\right.\)

Khi đó x và aq chính là nghiệm của pt: 

\(t^2-a\left(m-1\right)t+a^2=0\)

\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{\left[-a\left(m-1\right)\right]^2-4\cdot1\cdot a^2}=\sqrt{a^2\left(m^2-2m+1\right)-4a^2}\\ =\sqrt{a^2m^2-2ma^2+a^2-4a^2}=a\sqrt{m^2-2m-3}\\ =a\sqrt{\left(m-3\right)\left(m+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t_1=\dfrac{a\left(m-1\right)+a\sqrt{\left(m+1\right)\left(m-3\right)}}{2}\\t_2=\dfrac{a\left(m-1\right)-a\sqrt{\left(m+1\right)\left(m-3\right)}}{2}\end{matrix}\right.\) 

Với \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{a\left(m-1\right)+a\sqrt{\left(m+1\right)\left(m-3\right)}}{2}\\aq=\dfrac{a\left(m-1\right)-a\sqrt{\left(m+1\right)\left(m-3\right)}}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{a\left(m-1\right)+a\sqrt{\left(m+1\right)\left(m-3\right)}}{2}\\q=\dfrac{\left(m-1\right)-\sqrt{\left(m+1\right)\left(m-3\right)}}{2}\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow x+xq+xq^2=....\) 

Với: \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{a\left(m-1\right)-a\sqrt{\left(m+1\right)\left(m-3\right)}}{2}\\aq=\dfrac{a\left(m-1\right)+a\sqrt{\left(m+1\right)\left(m-3\right)}}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{a\left(m-1\right)-a\sqrt{\left(m+1\right)\left(m-3\right)}}{2}\\q=\dfrac{\left(m-1\right)+\sqrt{\left(m+1\right)\left(m-3\right)}}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x+xq+xq^2=...\)