Cho cấp số cộng \(u_1,u_2,u_3,...,u_n,...\) có công sai bằng 3. Biết dãy \(u_1,u_3,u_5,...,u_{2n+1}\) là cấp số cộng. Tính công sai của cấp số cộng đó?
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(Bài.1:\\ u_7=u_1+6d\\ \Leftrightarrow-10=2+6d\\ \Rightarrow6d=-10-2=-12\\ Vậy:d=\dfrac{-12}{6}=-2\\ Bài.2:S_{10}=10.u_1+\dfrac{10.\left(10-1\right)}{2}.d=10.1+\dfrac{10.9}{2}.2=100\\ Bài.3:S_{2019}=2019.u_1+\dfrac{2019.\left(2019-1\right)}{2}.d\\ =2019.3+\dfrac{2019.2018}{2}.2=2019.2021=4080399\)
Bài 4:
\(d=u_2=u_1=5-2=3\)
Bài 5:
\(u_n=u_1+\left(n-1\right)d\\ \Leftrightarrow2018=2+\left(n-1\right).9\\ \Leftrightarrow2+9n-9=2018\\ \Leftrightarrow9n=2018-2+9\\ \Leftrightarrow9n=2025\\ \Leftrightarrow n=\dfrac{2025}{9}=225\)
Vậy: 2018 là số hạng thứ 225 của dãy
Bài 6:
Đề chưa có yêu cầu
\(\left\{{}\begin{matrix}u_2+u_3+u_5=17\\u_6-2u_1=9\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1+d+u_1+2d+u_1+4d=17\\u_1+5d-2u_1=9\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3u_1+7d=17\\-u_1+5d=9\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1=1\\d=2\end{matrix}\right.\)
a) Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}{u_1} + {u_n} = {u_1} + {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d\\{u_2} + {u_{n - 1}} = {u_1} + d + \left( {n - 2} \right)d = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\\{u_n} + {u_1} = {u_1} + {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d\end{array} \right\} \Rightarrow {u_1} + {u_n} = {u_2} + {u_{n - 1}} = ... = {u_n} + {u_1}\)
b) Dựa vào công thức vừa chứng minh ta có: \(n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)\) = \(2{S_n}\)
\(a,u_1+u_n=u_1+\left[u_1+\left(n-1\right)d\right]=u_1+u_1+\left(n-1\right)d=2u_1+\left(n-1\right)d\\ u_2+u_{n-1}=\left[u_1+d\right]+\left[u_1+\left(n-2\right)d\right]=2u_1+\left(n-1\right)d\\ ...\\ u_k+u_{n-k+1}=\left[u_1+\left(k-1\right)d\right]+\left[u_1+\left(n-k+1-1\right)d\right]=2u_1+\left(n-1\right)d\)
\(b,u_1+u_n=2u_1+\left(n-1\right)d\\ u_2+u_{n-1}=2u_1+\left(n-1\right)d\\ ...\\ u_n+u_1=2u_1+\left(n-1\right)d\)
Cộng vế với vế, ta được:
\(2\left(u_1+u_2+...+u_n\right)=n\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]\\ \Leftrightarrow2\left(u_1+u_2+...+u_n\right)=n\left(u_1+u_n\right)\)
1: \(S_{99}=\dfrac{99\cdot\left[2\cdot6+98\cdot\left(-2\right)\right]}{2}=99\cdot\left(6-98\right)\)
=-9108
2: \(S_{100}=\dfrac{100\cdot\left(2\cdot\left(-2\right)+99\cdot4\right)}{2}=50\left(-4+99\cdot4\right)\)
=50*392
=19600
a) Ta có: \({u_2} = {u_1} + d\)
\({u_3} = {u_2} + d = {u_1} + 2d\)
\({u_4} = {u_3} + d = {u_1} + 3d\)
\({u_5} = {u_4} + d = {u_1} + 4d\)
b) Công thức tính số hạng tổng quát \({u_n}\):
\({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\).
\(a,\left\{{}\begin{matrix}u_3-u_1=20\\u_2+u_5=54\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(u_1+2d\right)-u_1=20\\\left(u_1+d\right)+\left(u_1+4d\right)=54\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2d=20\\2u_1+5d=54\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}d=10\\u_1=2\end{matrix}\right.\)
Vậy cấp số cộng \(\left(u_n\right)\) có số hạng đầu \(u_1=2\) và công sai \(d=10\)
\(b,\left\{{}\begin{matrix}u_2+u_3=0\\u_2+u_5=80\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1+d+u_1+2d=0\\u_1+d+u_1+4d=80\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1=-60\\d=40\end{matrix}\right.\)
Vậy cấp số cộng \(\left(u_n\right)\) có số hạng đầu \(u_1=-60\) và công sai \(d=40\)
\(c,\left\{{}\begin{matrix}u_5-u_2=3\\u_8\cdot u_3=24\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1+4d-u_1-d=3\\\left(u_1+7d\right)\left(u_1+2d\right)=24\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}d=1\left(1\right)\\\left(u_1+7d\right)\left(u_1+2d\right)=24\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Thế (1) vào (2), ta được:
\(\left(u_1+7\cdot1\right)\left(u_1+2\cdot1\right)=24\\ \Leftrightarrow u_1^2+9u_1-10=0\\ \Leftrightarrow\left(u_1-1\right)\left(u_1+10\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}u_1=1\\u_1=-10\end{matrix}\right.\)
Vậy có hai cấp số cộng \(\left(u_n\right)\) thỏa mãn:
- Cấp số cộng có số hạng đầu \(u_1=1\) và công sai \(d=1\)
- Cấp số cộng có số hạng đầu \(u_1=-10\) và công sai \(d=1\)
a) Ta có:
\(\begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = - 1 \Leftrightarrow {u_1} + {u_1} + d + {u_1} + 2d = - 1\\ \Leftrightarrow 3{u_1} + 3d = - 1\\ \Leftrightarrow 3.\left( {\frac{1}{3}} \right) + 3d = - 1\\ \Leftrightarrow 3d = - 2\\ \Leftrightarrow d = - \frac{2}{3}\end{array}\)
Công thức tổng quát của số hạng \({u_n}\): \({u_n} = \frac{1}{3} + \left( {n - 1} \right)\left( { - \frac{2}{3}} \right)\)
b) Ta có:
\(\begin{array}{l} - 67 = \frac{1}{3} + \left( {n - 1} \right).\left( { - \frac{2}{3}} \right)\\ \Leftrightarrow n - 1 = 101\\ \Leftrightarrow n = 102\end{array}\)
- 67 là số hạng thứ 102 của cấp số cộng
c) Ta có:
\(\begin{array}{l}7 = \frac{1}{3} + \left( {n - 1} \right).\left( { - \frac{2}{3}} \right)\\ \Leftrightarrow n - 1 = - 10\\ \Leftrightarrow n = - 9\end{array}\)
7 không là số hạng của cấp số cộng
Công sai của cấp số cộng đó là:
\(u_3-u_1=u_1+2d-u_1=2d=2\cdot3=6\)