Question

[fcfgđsfđ]

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Gọi H là điểm đối xứng vớ M qua AB, E là giao điểm của MH và AB. Gọi L là điểm đối xứng với M qua AC, F là giao điểm của MK và AC.          a) Xác định dạng của tứ giác AEMF, AMBH, AMCK.          b) Chứng minh H đối xứng với K qua A.          c) Tam giác vuông ABC có thêm điều kiện gì thì AEMF là hình vuông ?

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

Sửa đề: K là điểm đối xứng của M qua AC

a: M đối xứng H qua AB

=>AB là đường trung trực của MH

=>AB vuông góc MH tại trung điểm của MH

=>AB vuông góc MH tại E và E là trung điểm của MH

M đối xứng K qua AC

=>AC là đường trung trực của MK

=>AC vuông góc với MK tại trung điểm của MK

=>AC vuông góc với MK tại F và F là trung điểm của MK

ME\(\perp\)AB

AC\(\perp\)AB

Do đó: ME//AC

MF\(\perp\)AC

AB\(\perp\)AC

Do đó: MF//AB

Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

ME//AC

Do đó: E là trung điểm của AB

Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

MF//AB

Do đó: F là trung điểm của AC

Xét tứ giác AEMF có

\(\widehat{AEM}=\widehat{AFM}=\widehat{FAE}=90^0\)

=>AEMF là hình chữ nhật

Xét tứ giác AMBH có

E là trung điểm của AB và MH

Do đó: AMBH là hình bình hành

Hình bình hành AMBH có MH\(\perp\)AB

nên AMBH là hình thoi

Xét tứ giác AMCK có

F là trung điểm chung của AC và MK

=>AMCK là hình bình hành

Hình bình hành AMCK có AC\(\perp\)MK

nên AMCK là hình thoi

b: AMBH là hình thoi

=>AB là phân giác của góc MAH

=>\(\widehat{MAH}=2\cdot\widehat{BAM}\)

AMCK là hình thoi

=>AC là phân giác của góc MAK

=>\(\widehat{MAK}=2\cdot\widehat{MAC}\)

\(\widehat{MAH}+\widehat{MAK}=\widehat{KAH}\)

=>\(\widehat{KAH}=2\cdot\left(\widehat{MAB}+\widehat{MAC}\right)\)

=>\(\widehat{KAH}=2\cdot90^0=180^0\)

Do đó: K,A,H thẳng hàng

mà AH=AK(=AM)

nên A là trung điểm của HK

c: Để hình chữ nhật AEMF trở thành hình vuông thì AE=AF

mà \(AE=\dfrac{AB}{2};AF=\dfrac{AC}{2}\)

nên AB=AC