CMR: \(\sin x>x\) \(\forall x< 0\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
10 tháng 4 2018
Lời giải:
Sử dụng công thức lượng giác:
\(\cos a-\cos b=(-2)\sin \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}\) ta có:
\(\cos \frac{2\pi}{3}-\cos 2x=-2\sin \left(\frac{\pi}{3}+x\right)\sin \left(\frac{\pi}{3}-x \right)\)
Suy ra:
\(\sin \left(\frac{\pi}{3}+x\right)\sin \left(\frac{\pi}{3}-x \right)=\frac{\cos \frac{2\pi}{3}-\cos 2x}{-2}=\frac{1+2\cos 2x}{4}\)
\(\Rightarrow \text{VT}=4\sin x\sin \left(\frac{\pi}{3}+x\right)\sin \left(\frac{\pi}{3}-x \right)=\sin x(1+2\cos 2x)\)
\(=\sin x(1+\cos 2x+\cos ^2x-\sin ^2x)\)
\(=\sin x(\cos 2x+2\cos ^2x)\)
\(=\sin x\cos 2x+2\cos ^2x\sin x\)
\(=\sin x\cos 2x+\sin 2x\cos x=\sin (x+2x)=\sin 3x\)
Do đó ta có đpcm.
12 tháng 8 2018
\(x-x^2-1\)
\(=-\left(x^2-x+1\right)\)
\(=-\left[\left(x^2-x+\dfrac{1}{4}\right)-\dfrac{1}{4}-1\right]\)
\(=-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{5}{4}\)
Ta có :
\(-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\le0\Rightarrow-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{5}{4}\le\dfrac{5}{4}< 0\forall x\)
hay \(x-x^2-1< 0\forall x\)
14 tháng 8 2022
\(-x^2+x-\dfrac{1}{2}\)
\(=-\left(x^2-x+\dfrac{1}{2}\right)\)
\(=-\left(x^2-x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\right)\)
\(=-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}< 0\)
4 tháng 9 2018
-x^ - x - 1 = - (x^2+x+1) = - (x^2+x+1/4+3/4) = - [(x+1/2)^2 +3/4) ]
Ta có [(X+1/2)^2+3/4 lớn hơn hoặc bằng 3/4 => - [(x+1/2)^2+3/4] nhỏ hơn hoặc bằng -3/4 <0
4 tháng 9 2018
\(-\left(x^2+x+1\right)\Rightarrow-\left[x^2+2.x.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2+1-\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\)
\(\Rightarrow-\left[\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right]\Rightarrow-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{3}{4}\Rightarrow\le0\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 5 2021
\(S=sinx+siny+sin\left(3x+y\right)-sin\left(3x+y\right)-sin\left(x+y\right)\)
\(=sinx+siny-sin\left(x+y\right)\)
\(S^2=\left(sinx+siny-sin\left(x+y\right)\right)^2\le3\left(sin^2x+sin^2y+sin^2\left(x+y\right)\right)\)
\(S^2\le3\left(1-\dfrac{1}{2}\left(cos2x+cos2y\right)+sin^2\left(x+y\right)\right)\)
\(S^2\le3\left[1-cos\left(x+y\right)cos\left(x-y\right)+1-cos^2\left(x-y\right)\right]\)
\(S^2\le3\left[2+\dfrac{1}{4}cos^2\left(x+y\right)-\left[cos\left(x-y\right)-\dfrac{1}{2}cos\left(x+y\right)\right]^2\right]\le3\left[2+\dfrac{1}{4}cos^2\left(x+y\right)\right]\)
\(S^2\le3\left(2+\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{27}{4}\)
\(\Rightarrow S\le\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=3\\c=2\end{matrix}\right.\)
DS
0
DN
14 tháng 8 2018
Sửu đề bạn nhé!
Ta có:\(-4+5x-x^2=-\left(x^2-5x+4\right)\)
\(=-\left[x^2-2.x.\dfrac{5}{2}+\left(\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{25}{4}+4\right]\)
\(=-\left[\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{9}{4}\right]\)
\(=-\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2+\dfrac{9}{4}\)
do \(-\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2\le0\) với mọi x
\(\Rightarrow-\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2+\dfrac{9}{4}\le\dfrac{9}{4}< 0\) với mọi x
\(\Rightarrow\) điều phải chứng minh
Lời giải:
Với $x\leq \frac{-\pi}{2}$ thì:
$\sin x>-1>\frac{\pi}{2}\geq x$ (đpcm)
Với $x\in (\frac{-\pi}{2}; 0)$
Đặt $f(x)=\sin x-x\Rightarrow f'(x)=\cos x-1<0$ với mọi $x\in (\frac{-\pi}{2};0)$
$\Rightarrow f(x)$ nghịch biến trên $(-\frac{\pi}{2};0)$
$\Rightarrow f(x)>f(0)=0\Rightarrow \sin x>x$
Từ 2 TH trên ta có đpcm.