Cho (O) với dây $\mathrm{AB}$ cố định (AB không qua $\mathrm{O}$ ). Đường kính $\mathrm{CD}$ vuông góc với $\mathrm{AB}$ tại $\mathrm{H}$ (C thuộc cung lớn $\mathrm{AB}$ ). Điểm $\mathrm{M}$ di chuyển trên cung nhỏ $\mathrm{AC}(\mathrm{M} \neq \mathrm{A}$ và $\mathrm{M} \neq \mathrm{C})$. Đường thẳng $\mathrm{CM}$ cắt đường thẳng $\mathrm{AB}$ tại $\mathrm{N}$. Nối $\mathrm{MD}$ cắt $\mathrm{AB}$ tại $\mathrm{E}$.
a) Chứng minh tứ giác CMEH nội tiếp.
b) Chứng minh $\mathrm{NM} \cdot \mathrm{NC}=$ NA.NB.
c) Lấy điểm $\mathrm{P}$ đối xứng với $\mathrm{A}$ qua $\mathrm{O}$. Gọi I là trung điểm của $\mathrm{MC}$. Kẻ $\mathrm{IK}$ vuông góc với đường thẳng $\mathrm{AM}$ tại $\mathrm{K}$. Chứng minh $\mathrm{IK} / / \mathrm{MP}$ và điểm $\mathrm{K}$ thuộc một đường tròn cố định.
a. Xét (O) , có:
CD \(\perp\)AB = {H}
=> \(\widehat{CHA}=90^o\Rightarrow\widehat{CHE}=90^o\)
Có: \(\widehat{CMD}\)là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính CD
=> \(\widehat{CMD}=90^o\Rightarrow\widehat{CME}=90^o\)
Xét tứ giác CMEH, có:
\(\widehat{CME}+\widehat{CHE}=90^o+90^o=180^o\)
2 góc \(\widehat{CME}\)và \(\widehat{CHE}\)là 2 góc đối nhau
=> CMEH là tứ giác nội tiếp (đpcm)
Câu a: Có góc CHE=90 độ (vì CD\(\perp AB\) tại H)
Góc CMD =90 độ(góc nt chắn nửa đt)
Mà góc CHE và góc CMD ở vị trí đối nhau
⇒ Tứ giác CMEH nội tiếp
Câu b:
Xét \(\Delta NACva\Delta NMB\) có :
Góc N chung
Góc NCA = góc NBM (cùng chắn cung MA)
⇒ \(\Delta NAC\) đồng dạng \(\Delta NBM\) (góc góc)
⇒\(\dfrac{NM}{NA}\)=\(\dfrac{NB}{NC}\)⇔NM.NC=NA.NB
Câu c:
Có góc PMA=90 độ ( góc nt chắn nửa đt)→PM\(\perp\)AK
Mà IK\(\perp\)AK
⇒IK song song với MP (từ vuông góc đến song song