cho a,b,c,d>0 cmr
\(\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}\ge\frac{2a}{a+b+c+d}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 4 2019
1.
\(P=\frac{a^4}{abc}+\frac{b^4}{abc}+\frac{c^4}{abc}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3abc}=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)}{3abc\left(a+b+c\right)}\)
\(P\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right).3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}.3\sqrt[3]{abc}}{3abc\left(a+b+c\right)}=\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a+b+c}\)
Dấu "=" khi \(a=b=c\)
2.
\(P=\sum\frac{a^2}{ab+2ac+3ad}\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)}\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4.\frac{3}{8}\left(a+b+c+d\right)^2}=\frac{2}{3}\)
Dấu "=" khi \(a=b=c=d\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 4 2020
Bạn tham khảo (hoàn toàn dùng Cô-si):
Câu hỏi của Trần Anh Thơ - Toán lớp 8 | Học trực tuyến
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 3 2019
a/ Biến đổi tương đương:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT được chứng minh
b/ \(VT=\frac{a-d}{b+d}+1+\frac{d-b}{b+c}+1+\frac{b-c}{a+c}+1+\frac{c-a}{a+d}+1-4\)
\(VT=\frac{a+b}{b+d}+\frac{c+d}{b+c}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{c+d}{a+d}-4\)
\(VT=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{b+d}+\frac{1}{a+c}\right)+\left(c+d\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+d}\right)-4\)
\(\Rightarrow VT\ge\left(a+b\right).\frac{4}{b+d+a+c}+\left(c+d\right).\frac{4}{b+c+a+d}-4\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{4}{\left(a+b+c+d\right)}\left(a+b+c+d\right)-4=4-4=0\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d\)
10 tháng 2 2018
a, Có : (a-b)^2 >= 0
<=> a^2+b^2-2ab >= 0
<=> a^2+b^2 >= 2ab
<=> a^2+b^2+2ab >= 4ab
<=> (a+b)^2 >= 4ab
Vì a,b > 0 nên ta chia 2 vế bđt cho (a+b).ab ta được :
a+b/ab >= 4/a+b
<=> 1/a+1/b >= 4/a+b
=> ĐPCM
Dấu "=" xảy ra <=> a=b>0
Tk mk nha
G
5 tháng 12 2018
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{\sqrt{2a+b+1}}+\frac{1}{\sqrt{2b+c+1}}+\frac{1}{\sqrt{2c+a+1}}=A\\\sqrt{2a+b+1}+\sqrt{2b+c+1}+\sqrt{2c+a+1}=B\end{cases}}\)(thật ra cx ko cần đặt,mk đặt làm cho gọn hơn thôi ^^)
Cauchy-Schwarz: \(A\ge\frac{9}{B}\)
Xét: \(B^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(2a+b+1+2b+c+1+2c+a+1\right)=36\)
\(\Rightarrow B\le6\)
\(A\ge\frac{9}{B}\ge\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Ta có :
\(\frac{a+b+c+d}{2a}=\frac{1}{2}+\frac{b+c+d}{2a}\ge2\sqrt{\frac{1}{2}.\frac{b+c+d}{2a}}=2.\sqrt{\frac{b+c+d}{4a}}=\sqrt{\frac{b+c+d}{a}}\)
Do đó : \(\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}\ge\frac{2a}{a+b+c+d}\)