DẠNG 2: DÃY SỐ MÀ CÁC SỐ HẠNG KHÔNG CÁCH ĐỀU.
Bài 1. Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1)
Hướng dẫn giải
Cách 1:
Ta thấy mỗi số hạng của tổng trên là tích của hai số tự nhiên liên tiếp, khi đó:
Gọi a1 = 1.2 → 3a1 = 1.2.3 → 3a1= 1.2.3 - 0.1.2
a2 = 2.3 → 3a2 = 2.3.3 → 3a2= 2.3.4 - 1.2.3
a3 = 3.4 → 3a3 = 3.3.4 → 3a3 = 3.4.5 - 2.3.4
…………………..
an-1 = (n - 1)n → 3an-1 =3(n - 1)n → 3an-1 = (n - 1)n(n + 1) - (n - 2)(n - 1)n
an = n(n + 1) → 3an = 3n(n + 1) → 3an = n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1)
Cộng từng vế của các đẳng thức trên ta có:
3(a1 + a2 + … + an) = n(n + 1)(n + 2)
3(a1 + a2 + ... + an) = n(n + 1)(n + 2) ⇒ %5Cleft(%20%7Bn%20%2B%202%7D%20%5Cright)%7D%7D%7B3%7D)
Cách 2: Ta có
3A = 1.2.3 + 2.3.3 + … + n(n + 1).3
3A = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(3 - 1) + … + n(n + 1)[(n - 2) - (n - 1)]
3A = 1.2.3 - 1.2.0 + 2.3.3 - 1.2.3 + … + n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1)
3A = n(n + 1)(n + 2)
%5Cleft(%20%7Bn%20%2B%202%7D%20%5Cright)%7D%7D%7B3%7D)
* Tổng quát hoá ta có:
k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = 3k(k + 1). Trong đó k = 1; 2; 3; …
Ta dễ dàng chứng minh công thức trên như sau:
k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = k(k + 1)[(k + 2) - (k - 1)] = 3k(k + 1)
Bài 2. Tính B = 1.2.3 + 2.3.4 + ... + (n - 1)n(n + 1)
Hướng dẫn giải
Áp dụng tính kế thừa của bài 1 ta có:
4B = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + ... + (n - 1)n(n + 1).4
4B = 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + ... + (n - 1)n(n + 1)(n + 2) - [(n - 2)(n - 1)n(n + 1)]
4B = (n - 1)n(n + 1)(n + 2) - 0.1.2.3 = (n - 1)n(n + 1)(n + 2)
.n.%5Cleft(%20%7Bn%20%2B%201%7D%20%5Cright)%5Cleft(%20%7Bn%20%2B%202%7D%20%5Cright)%7D%7D%7B4%7D)
Bài 3. Tính C = 1.4 + 2.5 + 3.6 + 4.7 + … + n(n + 3)
Hướng dẫn giải
Ta thấy: 1.4 = 1.(1 + 3)
2.5 = 2.(2 + 3)
3.6 = 3.(3 + 3)
4.7 = 4.(4 + 3)
…….
n(n + 3) = n(n + 1) + 2n
Vậy C = 1.2 + 2.1 + 2.3 + 2.2 + 3.4 + 2.3 + … + n(n + 1) +2n
C = 1.2 + 2 +2.3 + 4 + 3.4 + 6 + … + n(n + 1) + 2n
C = [1.2 +2.3 +3.4 + … + n(n + 1)] + (2 + 4 + 6 + … + 2n)
⇒ 3C = 3.[1.2 +2.3 +3.4 + … + n(n + 1)] + 3.(2 + 4 + 6 + … + 2n)
3C = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + n(n + 1).3 + 3.(2 + 4 + 6 + … + 2n)
3C = n(n + 1)(n + 2) + n%7D%7B2%7D)
⇒ C = (n%2B2)%7D%7B3%7D)
+ = (n%2B5)%7D%7B3%7D)
Bài 4: Tính D = 12 + 22 + 32 + .... + n2
Hướng dẫn giải
Nhận xét: Các số hạng của bài 1 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp, còn ở bài này là tích của hai số tự nhiên giống nhau. Do đó ta chuyển về dạng bài tập 1:
Ta có:
A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ...+ n(n + 1)
A = 1.(1 + 1) + 2.(1 + 2) + 3.(1 + 3) + .... + n.(n + 1)
A = 12 + 1.1 + 22 + .1 + 32 + 3.1 + ... + n2 + n.1
A = (12 + 22 + 32 + .... + n2) + (1 + 2 + 3 + ... + n)
Mặt khác theo bài tập 1 ta có:
và 1 + 2 + 3 + .... + n = %7D%7D%7B2%7D)
⇒D = 12 + 22 + 32 + .... + n2 = %5Cleft(%20%7Bn%20%2B%202%7D%20%5Cright)%7D%7D%7B3%7D%20-%20%5Cfrac%7B%7Bn%5Cleft(%20%7Bn%20%2B%201%7D%20%5Cright)%7D%7D%7B2%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%7Bn%5Cleft(%20%7Bn%20%2B%201%7D%20%5Cright)%5Cleft(%20%7B2n%20%2B%201%7D%20%5Cright)%7D%7D%7B6%7D)
Bài 5: Tính E = 13 + 23 + 33 + ... + n3
Hướng dẫn giải
Tương tự bài toán ở trên, xuất phát từ bài toán 2, ta đưa tổng B về tổng E:
B = 1.2.3 + 2.3.4 + 4.5.6 + ... + (n - 1)n(n + 1)
B = (2 - 1).2.(2 + 1) + (3 -1).3.(3 +1) + ....+ (n - 1).n.(n + 1)
B = (23 - 2) + (33 - 3) + .... + (n3 - n)
B = (23 + 33 + .... +n3) - (2 + 3 + ... + n)
B = (13 + 23 + 33 + ... + n3) - (1 + 2 + 3 + ... + n)
B = (13 + 23 + 33 + ... + n3) - %7D%7B2%7D)
⇒ 13 + 23 + 33 + ... + n3 = B +
Mà .n%5Cleft(%20%7Bn%20%2B%201%7D%20%5Cright)%5Cleft(%20%7Bn%20%2B%202%7D%20%5Cright)%7D%7D%7B4%7D)
⇒ E = 13 + 23 + 33 + ... + n3 = .n%5Cleft(%20%7Bn%20%2B%201%7D%20%5Cright)%5Cleft(%20%7Bn%20%2B%202%7D%20%5Cright)%7D%7D%7B4%7D)
+
a)
S=1.2+2.3+3.4+.............+n(n+1)
=1(1+1) + 2(2+1) + 3(3+1) +...+n(n+1)
=(1^2 + 2^2 + 3^2 +...+ n^2) + (1 + 2 + 3 + ...+ n)
ta có các công thức:
1^2 + 2^2 + 3^2 +...+ n^2 = n(n+1)(2n+1)/6
1 + 2 + 3 + ...+ n = n(n+1)/2
thay vào ta có:
S = n(n+1)(2n+1)/6 + n(n+1)/2
=n(n+1)/2[(2n+1)/3 + 1]
=n(n+1)(n+2)/3
b)
Chỉnh lại đề nhé:
1 +2 + 3 + 4 +.......+ n = n(1 + n)/2
Sử dụng phương pháp quy nạp toán học
Với n = 1, ta có:
1 = (1 + 1)/2 (đúng)
Giả sử mệnh đề đúng với n = k >= 1 (k thuộc N*), tức là:
1 + 2 + 3 + 4 +.......+ k = k(1 + k)/2
Ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1, tức là:
1 + 2 + 3 + 4 + .......+ k +1 = (k + 1)(k + 2)/2 (*)
Biến đổi tương đương, ta có:
(*) <=> 1 + 2 + 3 + 4 +......+ k + k + 1 = (k + 1)(k + 2)/2
<=> (1 + 2 + 3 + 4 +......+ k) + k + 1 = (k + 1)(k + 2)/2
<=> k(k + 1)/2 + k + 1 = (k + 1)(k + 2)/2
<=> (k + 1)(k/2 + 1) = (k + 1)(k + 2)/2 (đúng)
Đẳng thức trên đúng
Vậy theo nguyên lý quy nạp, ta chứng minh được mệnh đề:
1 +2 + 3 + 4 +.......+ n = n(1 + n)/2
c)
S₁ = 1 + 2 + 3 +....+ n = n(n+1)/2 (1)
S₂ = 1² + 2² + 3² + 4² + ...+ n²
ta có:
1³ = (1 + 0)³ = 1
2³ = (1 + 1)³ = 1 + 3.1 + 3.1² + 1³
3³ = (1 + 2)³ = 1 + 3.2 + 3.2² + 2³
...........
(1 + n)³ = 1 + 3.n + 3.n² + n³
cộng theo vế được:
(1 + n)³ = (n + 1) + 3(S₁) + 3(S₂) = (n + 1) + 3n(n+1)/2 + 3(S₂)
=> S₂ = [2(1 + n)³ - 2(n + 1) - 3n(n+1)]/6 = (n+1)[2(1 + 2n + n²) - 2 - 3n]/6
= (n + 1)(2n² + n )/6 = n(n + 1)(2n +1)/6
-----------
sử dụng qui nạp:
1² + 2² + 3² + 4² + ...+ n² = n(n+1)(2n+1)/6 (*)
(*) đúng khi n= 1
giả sử (*) đúng với n= k, ta có:
1² + 2² + 3² + 4² + ...+ k² = k(k+1)(2k+1)/6 (1)
ta cm (*) đúng với n = k +1, thật vậy từ (1) cho ta:
1² + 2² + 3² + 4² + ...+ k² + (k + 1)² = k(k+1)(2k+1)/6 + (k + 1)²
= (k+1)[k(2k + 1)/6 + (k + 1)] = (k + 1)(2k² + k + 6k + 6)/6
= (k + 1)(2k² + 7k + 6)/6 = (k + 1)(2k² + 4k + 3k + 6)/6
= (k + 1)[2k(k +2)+ 3(k + 2)]/6 = (k + 1)(k + 2)(2k+ 3)/6
vậy (*) đúng với n = k + 1, theo nguyên lý qui nạp (*) đúng với mọi n thuộc N*