Question

[Khiêm Nguyễn Gia]

Giải hệ phương trình sau: \(\left\{{}\begin{matrix}x^3=2x+y\\y^3=2y+x\end{matrix}\right.\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Lấy 2 PT trừ theo vế thì:

$x^3-y^3=x-y$

$\Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2)-(x-y)=0$

$\Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2-1)=0$

$\Rightarrow x-y=0$ hoặc $x^2+xy+y^2=1$
TH1: $x-y=0\Leftrightarrow x=y$

Thay vào PT(1):

$x^3=3x\Leftrightarrow x(x^2-3)=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=\pm \sqrt{3}$

Vậy $(x,y)=(0,0), (\sqrt{3}, \sqrt{3}), (-\sqrt{3}, -\sqrt{3})$

TH2: $x^2+xy+y^2=1(*)$

Cộng 2 PT theo vế: $x^3+y^3=3(x+y)$

$\Leftrightarrow (x+y)(x^2-xy+y^2-3)=0$

Nếu $x+y=0$ thì $x=-y$. Thay vào $(*)$:

$x^2+x(-x)+y^2=1$

$\Leftrightarrow y^2=1\Leftrightarrow y=\pm 1$

Vậy $(x,y)=(1,-1), (-1,1)$

Nếu $x^2-xy+y^2-3=0$

$\Leftrightarrow (x^2+xy+y^2)-2xy-3=0$

$\Leftrightarrow 1-2xy-3=0$

$\Leftrightarrow xy=-1$

$x^2+y^2=1-xy=1-(-1)=2$

$\Leftrightarrow (x+y)^2-2xy=2$

$\Leftrightarrow (x+y)^2-2(-1)=2$

$\Leftrightarrow x+y=0$

$\Leftrightarrow x=-y$. Thay vào $xy=-1$ thì: $y^2=1\Leftrightarrow y=\pm 1$

Nếu $y=1$ thì $x=-y=-1$. Nếu $y=-1$ thì $x=-y=1$

Vậy $(x,y)=(-1,1), (1,-1)$.

Vậy............