gần gấp!!!!!!
Cho \(x,y,z>0\)
CMR: \(\frac{x}{z^2+y^2}+\frac{y}{x^2+y^2}+\frac{z}{x^2+y^2}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 6 2020
\(z\ge x+y\Rightarrow\frac{z}{x+y}\ge1\)
\(VT=\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)\)
\(VT\ge\left(\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2+z^2\right)\left(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2+\frac{1}{z^2}\right)\)
\(VT\ge\left(\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2+z^2\right)\left(\frac{8}{\left(x+y\right)^2}+\frac{1}{z^2}\right)\)
\(VT\ge\frac{1}{2}\left(\frac{x+y}{z}\right)^2+8\left(\frac{z}{x+y}\right)^2+5\)
\(VT\ge\frac{1}{2}\left(\frac{x+y}{z}\right)^2+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{x+y}\right)^2+\frac{15}{2}\left(\frac{z}{x+y}\right)^2+5\)
\(VT\ge\frac{1}{2}.2\sqrt{\left(\frac{x+y}{z}\right)^2\left(\frac{z}{x+y}\right)^2}+\frac{15}{2}.1^2+5=\frac{27}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{z}{2}\)
R
12 tháng 6 2017
thế nào nhỉ ( :
Từ giả thiết => 1/x +1/y +1/z <= 1
A/d BĐT 1/(x +y+z) <= 1/9 ( 1/x + 1/y +1/z ) và 1/(x+y) <= 1/4 ( 1/x +1/y )
=> 1/(4x + y+z) = 1/(x+x + y+x + z+x) <= 1/9 ( 1/2x + 1/(y+x) + 1/(z+x) ) <= 1/9 ( 1/(2x) + 1/4(1/y +1/x) + 1/4(1/x + 1/z))
Tương tự cộng lại và sử dụng 1/x +1/y +1/z <= 1
được P <= 1/6(1/x +1/y +1/z) <= 1/6 ĐPCM.
24 tháng 11 2016
\(BDT\Leftrightarrow\text{∑}\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\right)\ge\frac{21}{2}\)
Mà \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\ge2\). Vậy ta cần chứng minh
\(\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{y^2}+\frac{z^2}{x^2}+\frac{x^2}{z^2}\ge\frac{17}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{y^2}{z^2}+\frac{x^2}{z^2}\ge\frac{1}{2}\left(\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{z^2}{y^2}+\frac{z^2}{x^2}\ge\frac{1}{2}\left(\frac{4z}{x+y}\right)^2\)
Đặt \(a=\frac{z}{x+y}\ge1\), ta chứng minh \(\frac{1}{2a^2}+8a^2\ge\frac{17}{2}\)
Dễ thấy BĐT này đúng. Vậy ta có đpcm
TN
24 tháng 11 2016
\(BDT\Leftrightarrow\text{∑}\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\right)\ge\frac{21}{2}\)
Mà \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\ge2\)(dùng AM-GM giải quyết chỗ này)
Vậy ta cần chứng minh \(\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{y^2}+\frac{z^2}{x^2}+\frac{x^2}{z^2}\ge\frac{17}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{y^2}{z^2}+\frac{x^2}{z^2}\ge\frac{1}{2}\left(\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{z^2}{y^2}+\frac{z^2}{x^2}\ge\frac{1}{2}\left(\frac{4z}{x+y}\right)^2\)
Đặt \(a=\frac{z}{x+y}\ge1\),ta chứng minh \(\frac{1}{2a^2}+8a^2\ge\frac{17}{2}\)
Dễ thấy BĐT này đúng.Vậy ta có đpcm
16 tháng 6 2019
Ta có \(1+x^2=x^2+xy+yz+xz=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)
Tương tự \(1+y^2=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\)
\(1+z^2=\left(x+z\right)\left(y+z\right)\)
Thay vào A ta được
\(P=x\sqrt{\left(y+z\right)^2}+y\sqrt{\left(x+z\right)^2}+z\sqrt{\left(x+y\right)^2}\)
=2(xy+xz+yz)=2
17 tháng 6 2019
\(b,VT=VP\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{xy+yz+zx+x^2}+\frac{y}{xy+yz+zx+y^2}+\frac{z}{xy+yz+zx+z^2}\)
\(=\frac{2xyz}{\sqrt{\left(xy+yz+zx+x^2\right)\left(xy+yz+zx+y^2\right)\left(xy+yz+zx+z^2\right)}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{y}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}+\frac{z}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\)
\(=\frac{2xyz}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)\left(y+x\right)\left(z+x\right)\left(y+z\right)}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x\left(y+z\right)+y\left(x+z\right)+z\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=\frac{2xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
\(\Leftrightarrow xy+xz+xy+yz+xz+yz=2xyz\)
\(\Leftrightarrow2=2xyz\)
\(\Leftrightarrow xyz=1\)
Đù =)))