Tìm tất cả giá trị thực của \(m\) để hệ phương trình sau có nghiệm:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1-2x_2+x_3+x_4=1\\2x_1+x_2-x_3+2x_4=0\\x_1-x_2+2x_3-3x_4=-2\\4x_1-2x_2+2x_3=m\end{matrix}\right.\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(x^2=t\) \(\Rightarrow t^2+\left(1-m\right)t+2m-2=0\) (1)
Pt đã cho có 4 nghiệm pb \(\Leftrightarrow\) (1) có 2 nghiệm dương pb
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta=\left(1-m\right)^2-8\left(m-1\right)>0\\t_1+t_2=m-1>0\\t_1t_2=2m-2>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>9\)
Khi đó, do vai trò của \(x_1;x_2;x_3;x_4\) như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử \(x_1=-\sqrt{t_1};x_2=\sqrt{t_1}\) ; \(x_3=-\sqrt{t_2};x_4=\sqrt{t_2}\)
\(\Rightarrow x_1x_2x_3x_4=t_1t_2\) ; \(x_1^2=x_2^2=t_1\) ; \(x_3^2=x_4^2=t_2\)
\(\Rightarrow\dfrac{x_1x_2x_3x_4}{2x_4^2}+\dfrac{x_1x_2x_3x_4}{2x_3^2}+\dfrac{x_1x_2x_3x_4}{2x_2^2}+\dfrac{x_1x_2x_3x_4}{2x_1^2}=2017\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{t_1t_2}{2t_2}+\dfrac{t_1t_2}{2t_2}+\dfrac{t_1t_2}{2t_1}+\dfrac{t_1t_2}{2t_1}=2017\)
\(\Leftrightarrow t_1+t_2=2017\)
\(\Leftrightarrow m-1=2017\Rightarrow m=2018\)
Hướng dẫn: nhân cả tử và mẫu của phân số đầu với x4, làm tương tự với 3 phân số còn lại, đặt nhân tử chung, phần còn lại trong ngoặc ghép cặp x1 và x2; x3 và x4, sau đó quy đồng từng cặp và Viet
Đặt \(x^2=t\ge0\Rightarrow t^2-2mt+2m+6=0\) (1)
Để pt đã cho có 4 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow\left(1\right)\) có 2 nghiệm dương phân biệt
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=m^2-2m-6>0\\t_1+t_2=2m>0\\t_1t_2=2m+6>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>\sqrt{7}+1\)
Giả sử (1) có 2 nghiệm dương \(0< t_1< t_2\) và \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2=t_1\\x^2=t_2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=-\sqrt{t_2}\\x_2=-\sqrt{t_1}\\x_3=\sqrt{t_1}\\x_4=\sqrt{t_2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\sqrt{t_2}-2\sqrt{t_1}-2\sqrt{t_1}+\sqrt{t_2}=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{t_2}=2\sqrt{t_1}\Rightarrow t_2=4t_1\)
Kết hợp Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}t_1+t_2=2m\\t_2=4t_1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}t_1=\frac{2m}{5}\\t_2=\frac{8m}{5}\end{matrix}\right.\)
\(t_1t_2=2m+6\Rightarrow\frac{16m^2}{25}=2m+6\)
\(\Rightarrow16m^2-50m-150=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=5\\m=-\frac{15}{8}\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
Câu a:
Đặt \(x^2=t\left(t>0\right)\)phương trinh \(x^4+\left(1-m\right)x^2+2m-2=0\left(1\right)\)trở thành \(t^2+\left(1-m\right)t+2m+2=0\left(2\right)\)
Để (1) có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) phải có 2 nghiệm phân biệt tức
\(\Delta>0\Leftrightarrow\left(1-m\right)^2-4\left(2m-2\right)>0\)
\(m^2-10m+9>0\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(m-9\right)>0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m>9\\m< 1\end{cases}}\)
Câu b:
phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt \(t_1,t_2\)tương ứng phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2,x_3,x_4\)thỏa mãn \(\hept{\begin{cases}t_1=-x_1=x_3\\t_2=-x_2=x_4\end{cases}}\)(theo tính chất đối xứng nghiệm của hàm trùng phương bậc 4)
theo viet ta có :\(\hept{\begin{cases}t_1+t_2=1-m\\t_1t_2=2m-2\end{cases}}\)
Xét \(\frac{x_1x_2x_3}{2x_4}+\frac{x_1x_2x_4}{2x_3}+\frac{x_1x_3x_4}{2x_2}+\frac{x_2x_3x_4}{2x_1}=2013\)
\(VT=\frac{\left(x_1x_2x_3\right)^2}{2x_1x_2x_3x_4}+\frac{\left(x_1x_2x_4\right)^2}{2x_1x_2x_3x_4}+\frac{\left(x_1x_3x_4\right)^2}{2x_1x_2x_3x_4}+\frac{\left(x_4x_2x_3\right)^2}{2x_1x_2x_3x_4}\)
\(=\frac{\left(x_1x_2\right)^2\left(x^2_3+x^2_4\right)}{2x_1x_2x_3x_4}+\frac{\left(x_4x_3\right)^2\left(x_1^2+x_2^2\right)}{2x_1x_2x_3x_4}\)
thay biến x bằng biến t ta có
\(VT=\frac{\left(t_1t_2\right)^2\left(t_1^2+t^2_2\right)}{2t_1t_2}+\frac{\left(t_1t_2\right)^2\left(t_1^2+t^2_2\right)}{2t_1t_2}=\frac{2\left(t_1t_2\right)^2\left(t_1^2+t^2_2\right)}{2t_1t_2}\)
\(=\left(t_1t_2\right)\left(t_1^2+t^2_2\right)=\left(t_1^2+t^2_2-2t_1t_2\right)t_1t_2\)
thế m theo viet vào ta có :
\(\left(2m-2\right)\left(\left(1-m\right)^2-2\left(2m-2\right)\right)=2013\)
\(\Leftrightarrow2m^3-8m^2+17m-2023=0\)
Đến đây giải dễ rùi bạn gải nốt tìm m nhé