Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB} \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BB} = \overrightarrow 0 \)
b) \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \left( {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {DC} } \right)\)
\(= \left( {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} } \right) + \left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DC}} \right)\)
\(= \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} \) (Vì \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {0} \))
Do là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành nên:
\(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\)\(=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD}\)
\(=4\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\)
\(=4\overrightarrow{MO}\) (ĐPCM).
a) \(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {BA} \)
\(\overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {CD} \)
Do ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CD} \)
Suy ra, \(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OC} \)
b) \(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {DC} = (\overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OC}) + \overrightarrow {DC} \\= \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {CC} = \overrightarrow 0 \)
Ta có: \(\overrightarrow {AM} = - \overrightarrow {MA} ,\;\overrightarrow {DM} = - \overrightarrow {MD} \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MA} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {AB} \)
Tương tự ta có: \(\overrightarrow {MC} - \overrightarrow {MD} = \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {DM} = \overrightarrow {DM} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {DC} \)
Mà \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \)(do ABCD là hình bình hành)
\( \Rightarrow \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MA} = \overrightarrow {MC} - \overrightarrow {MD} \) (đpcm)
Cách 1:
Do ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {DM} + \overrightarrow {MC} \\ \Leftrightarrow - \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = - \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MC} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} \end{array}\)
Cách 2:
Ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MD} - \overrightarrow {MC} \) (*)
Áp dụng quy tắc hiệu ta có: \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {BA} ;\;\;\overrightarrow {MD} - \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {CD} \)
Do đó (*) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CD} \) (luôn đúng do ABCD là hình bình hành)
Cách 3:
Ta có:
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} + \left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DC} } \right)\)
Vì ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \)\( \Rightarrow - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {DC} \) hay \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow 0 \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} \) (đpcm)
a)
Giả sử: \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\left(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right)+\left(\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MD}\right)=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\) (\(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}\) do tứ giác ABCD là hình chữ nhật).
Vậy điều giả sử đúng. Ta có điều phải chứng minh.
b) Theo quy tắc hình bình hành:
\(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|=AC\).
Áp dụng quy tắc 3 điểm:
\(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right|=\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DA}\right|=\left|\overrightarrow{DB}\right|=DB\).
Do tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên AC = BD.
Vì vậy: \(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right|=\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right|\).
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GE} + \overrightarrow {EA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GE} + \overrightarrow {EB} } \right)\\ + \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GF} + \overrightarrow {FC} } \right) + \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GF} + \overrightarrow {FD} } \right)\end{array}\)
\( = \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {MG} \overrightarrow { + MG} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {GE} + \overrightarrow {GF} } \right) \\+ \left( {\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {EB} } \right) + \left( {\overrightarrow {FC} + \overrightarrow {FD} } \right)\)
\( = 4\overrightarrow {MG} + 2.\overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 = 4\overrightarrow {MG} \) (đpcm)
VT=\(\overrightarrow{MB}\)+\(\overrightarrow{BA}\)+\(\overrightarrow{MD}\)+\(\overrightarrow{DC}\)
=(\(\overrightarrow{MB}\)+\(\overrightarrow{MD}\))+(\(\overrightarrow{BA}\)+\(\overrightarrow{DC}\))
=\(\overrightarrow{MB}\)+\(\overrightarrow{MD}\)+\(\overrightarrow{0}\) (vì \(\overrightarrow{BA}\) và \(\overrightarrow{DC}\) đối nhau)
=\(\overrightarrow{MB}\)+\(\overrightarrow{MD}\)(đpcm)
a) \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 4\overrightarrow {MO} \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OD} = 4\overrightarrow {MO} \)
\( \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MO} + \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right) + \left( {\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right) = 4\overrightarrow {MO} \)
\( \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MO} + \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 = 4\overrightarrow {MO} \\ \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MO} = 4\overrightarrow {MO} \) (luôn đúng)
(vì O là giao điểm 2 đường chéo nên là trung điểm của AB, CD)
b) ABCD là hình bình hành nên ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \)
Suy ra \(\)\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AC} \) (đpcm)