cho \(a\ge c>0,b\ge c\)
CM:
\(\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\le\sqrt{ab}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TT
20 tháng 12 2019
Đề đánh bị lỗi.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski:
\(\sqrt{c.\left(a-c\right)}+\sqrt{c.\left(b-c\right)}\le\sqrt{\left[\sqrt{c}^2+\sqrt{\left(a-c\right)}^2\right]\left[\sqrt{c}^2+\sqrt{\left(b-c\right)}^2\right]}\)
\(=\sqrt{\left(c+a-c\right)\left(c+b-c\right)}=\sqrt{ab}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 3 2021
Bài 1:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{(a+1)(b+1)(c+1)}}$
$\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{(a+1)(b+1)(c+1)}}$
Cộng theo vế và thu gọn:
$\frac{a+1}{a+1}+\frac{b+1}{b+1}+\frac{c+1}{c+1}\geq \frac{3(1+\sqrt[3]{abc})}{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}$
$\Leftrightarrow 3\geq \frac{3(1+\sqrt[3]{abc})}{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}$
$\Rightarrow (a+1)(b+1)(c+1)\geq (1+\sqrt[3]{abc})^3$
Ta có đpcm.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 3 2021
Bài 2:
$a^3+a^3+a^3+a^3+b^3+c^3\geq 6\sqrt[6]{a^{12}b^3c^3}=6a^2\sqrt{bc}$
$b^3+b^3+b^3+b^3+a^3+c^3\geq 6b^2\sqrt{ac}$
$c^3+c^3+c^3+c^3+a^3+b^3\geq 6c^2\sqrt{ab}$
Cộng theo vế và rút gọn thu được:
$a^3+b^3+c^3\geq a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab}$
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
KB
19 tháng 3 2019
Vì a ; b ; c dương , áp dụng BĐT Cô - si cho các cặp số dương , ta có :
\(\frac{c}{b}+\frac{a-c}{a}\ge2\sqrt{\frac{c\left(a-c\right)}{ab}}\)
\(\frac{c}{a}+\frac{b-c}{b}\ge2\sqrt{\frac{c\left(b-c\right)}{ab}}\)
\(\Rightarrow2\ge2\sqrt{\frac{c\left(a-c\right)}{ab}}+2\sqrt{\frac{c\left(b-c\right)}{ab}}\)
\(\Rightarrow1\ge\frac{\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}}{\sqrt{ab}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{ab}\ge\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{c}{b}=\frac{a-c}{a};\frac{c}{a}=\frac{b-c}{b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{c}{b}+\frac{c}{a}=1\) \(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\)
Vì \(a;b\ge c\Rightarrow a=b=2c\)
Vậy ...
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 3 2019
BĐT cần chứng minh tương đương: \(\sqrt{\frac{c\left(a-c\right)}{ba}}+\sqrt{\frac{c\left(b-c\right)}{ab}}\le1\)
Áp dụng BĐT Cauchy:
\(VT\le\frac{1}{2}\left(\frac{c}{b}+\frac{a-c}{a}+\frac{c}{a}+\frac{b-c}{b}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{a-c+c}{a}+\frac{c+b-c}{b}\right)=1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=2c\)
4 tháng 2 2021
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj
TM
1
1 tháng 8 2019
+ Theo BĐT Bunhiacopxki :
\(\left(\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\right)^2\le\left(c+b-c\right)\left(a-c+c\right)\)
\(=ab\)
\(\Rightarrow\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\le\sqrt{ab}\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow\frac{c}{a-c}=\frac{b-c}{c}=\frac{c+b-c}{a-c+c}=\frac{b}{a}\)
\(\Leftrightarrow ab=c\left(a+b\right)\)
tìm trc khi hỏi Câu hỏi của Hoàng Thiên - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
bạn ầy làm đúng rồi
k tui nha
thank