Cho hình bình hành ABCD, kẻ AH vuông góc với BD tại H và CK vuông góc với BD tại K.
a) Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành.
b) Gọi I là trung điểm của HK. Chứng minh IB = ID.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
8 tháng 9 2023
a) Vì \(AH\), \(CK\) vuông góc với \(BD\) (gt)
Suy ra \(AH\) // \(CK\)
Vì \(ABCD\) là hình bình hành (gt)
Suy ra \(AD = BC\); \(AD\) // \(BC\)
Xét \(\Delta ADH\) và \(\Delta CBK\) ta có:
\(\widehat {{\rm{AHD}}} = \widehat {{\rm{CKB}}} = 90^\circ \) (gt)
\(AD = BC\) (cmt)
\(\widehat {{\rm{ADH}}} = \widehat {{\rm{CBK}}}\) (do \(AD\) // \(BC\))
Suy ra \(\Delta ADH = \Delta CBK\) (ch-gn)
Suy ra \(AH = CK\) (hai cạnh tương ứng)
Mà \(AH\) // \(CK\) (cmt)
Suy ra \(AHCK\) là hình bình hành
b) Vì \(AHCK\) là hình bình hành nên hai đường chéo \(HK\) và \(AC\) cắt nhau tại trung điểm.
Mà \(I\) là trung điểm của \(HK\).
Suy ra \(I\) là trung điểm của \(AC\).
Ta lại có \(ABCD\) là hình bình hành nên hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại trung điểm.
Suy ra \(I\) là trung điểm của \(BD\) hay \( IB = ID\)
22 tháng 7 2023
a: Xét ΔAHD vuông tại H và ΔCKB vuông tại K có
AD=CB
góc ADH=góc CBK
=>ΔAHD=ΔCKB
=>AH=CK
mà AH//CK
nên AHCK là hình bình hành
b: AHCK là hình bình hành
=>AC cắt HK tại trung điểm của mỗi đường
=>I là trung điểm của AC
ABCD là hình bình hành
=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường
=>I là trung điểm của BD
=>IB=ID
NN
Nguyễn Ngọc Anh Minh
CTVHS
VIP
29 tháng 11 2023
1/
Ta có
\(ÁH\perp BD\left(gt\right);CK\perp BD\left(gt\right)\) => AH//CK (1)
Xét tg vuông ADH và tg vuông BCK có
AD//BC (cạnh đối hbh) \(\Rightarrow\widehat{ADH}=\widehat{CBK}\) (góc so le trong)
AD=BC (cạnh đối hbh)
=> tg ADH = tg BCK (Hai tg cuông có cạnh huyền và góc nhọn tương ứng bằng nhau) => AH=CK (2)
Từ (1) và (2) => AHCK là hbh (Tứ giác có 1 cặp cạnh đối // và = nhau là hbh)
2/
Ta có
AH//CK (cmt) => AI//CF
AB//CD (cạnh đối hbh) => AF//CI
=> AICF là hbh (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh) => AI = CF (cạnh đối hbh)
4/ Xét hbh AHCK có
AC cắt HK tại O' => O'H=O'K (trong hbh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) => O' là trung điểm HK
Mà O cũng là trung điểm HK
=> \(O\equiv O'\) => A; O; C thẳng hàng
5/
Xét hbh AHCK có
AC cắt HK tại O (cmt) => OA=OC
Xét hbh ABCD có
OA=OC (cmt) => OB=OD (trong hbh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
Ta có
AICF là hbh (cmt) => FI cắt AC tại trung điểm O của AC (trong hbh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
=> AC; BD; IF đồng quy
15 tháng 8 2021
a: Xét ΔAHD vuông tại H và ΔCKB vuông tại K có
AD=CB
\(\widehat{ADH}=\widehat{CBK}\)
Do đó: ΔAHD=ΔCKB
Suy ra: AH=CK
Xét tứ giác AHCK có
AH//CK
AH=CK
Do đó: AHCK là hình bình hành
b: Ta có: AHCK là hình bình hành
nên Hai đường chéo AC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
mà O là trung điểm của HK
nên O là trung điểm của AC
hay A,O,C thẳng hàng
14 tháng 12 2023
Bài 3:
a: Ta có: AD+DB=AB
AE+EC=AC
mà DB=EC và AB=AC
nên AD=AE
Xét ΔABC có \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\)
nên DE//BC
Xét tứ giác BDEC có DE//BC
nên BDEC là hình thang
Hình thang BDEC có \(\widehat{DBC}=\widehat{ECB}\)
nên BDEC là hình thang cân
b: Để BD=DE=EC thì BD=DE và DE=EC
BD=DE thì ΔDBE cân tại D
=>\(\widehat{DBE}=\widehat{DEB}\)
mà \(\widehat{DEB}=\widehat{EBC}\)(hai góc so le trong, DE//BC)
nên \(\widehat{DBE}=\widehat{EBC}\)
=>\(\widehat{ABE}=\widehat{EBC}\)
=>BE là phân giác của góc ABC
=>E là chân đường phân giác kẻ từ B xuống AC
Xét ΔEDC có ED=EC
nên ΔEDC cân tại E
=>\(\widehat{EDC}=\widehat{ECD}\)
mà \(\widehat{EDC}=\widehat{DCB}\)(hai góc so le trong, DE//BC)
nên \(\widehat{ECD}=\widehat{DCB}\)
=>\(\widehat{ACD}=\widehat{BCD}\)
=>CD là phân giác của góc ACB
=>D là chân đường phân giác từ C kẻ xuống AB
Bài 2:
a: Ta có: ABCD là hình bình hành
=>AB//CD và AB=CD(1)
Ta có: M là trung điểm của AB
=>\(AM=MB=\dfrac{AB}{2}\left(2\right)\)
Ta có: N là trung điểm của CD
=>\(NC=ND=\dfrac{CD}{2}\left(3\right)\)
Từ (1),(2),(3) suy ra AM=MB=NC=ND
Xét tứ giác AMCN có
AM//CN
AM=CN
Do đó: AMCN là hình bình hành
b: Ta có AMCN là hình bình hành
=>AN//CM
Xét ΔDFC có
N là trung điểm của DC
NE//FC
Do đó: E là trung điểm của DF
=>DE=EF(4)
Xét ΔABE có
M là trung điểm của BA
MF//AE
Do đó: F là trung điểm của BE
=>BF=FE(5)
Từ (4) và (5) suy ra BF=FE=ED
12 tháng 10 2021
a: Xét tứ giác AMCN có
AM//CN
AM=CN
Do đó: AMCN là hình bình hành
Suy ra:AN//CM
CM
9 tháng 12 2018
Ta chứng minh AH//CK, AH = CK (DAHD = DCKB) Þ AHCK là hình bình hành (cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
a) Do ABCD là hình bình hành
\(\Rightarrow AD=BC\) và \(AD\) // \(BC\)
Do \(AD\) // \(BC\) (cmt)
\(\Rightarrow\widehat{ADH}=\widehat{CBK}\) (so le trong)
Xét hai tam giác vuông: \(\Delta ADH\) và \(\Delta CBK\) có:
\(AD=BC\) (cmt)
\(\widehat{ADH}=\widehat{CBK}\) (cmt)
\(\Rightarrow\Delta ADH=\Delta CBK\) (cạnh huyền - góc nhọn)
\(\Rightarrow AH=CK\) (hai cạnh tương ứng)
Do \(AH\perp BD\) (gt)
\(CK\perp BD\) (gt)
\(\Rightarrow AH\) // \(CK\)
Xét tứ giác AHCK có:
\(AH\) // \(CK\) (cmt)
\(AH=CK\) (cmt)
\(\Rightarrow AHCK\) là hình bình hành
b) Do AHCK là hình bình hành (cmt)
\(I\) là trung điểm của HK (gt)
\(\Rightarrow I\) là trung điểm của AC
Do ABCD là hình bình hành (gt)
\(I\) là trung điểm của AC (cmt)
\(\Rightarrow I\) là trung điểm của BD
\(\Rightarrow IB=ID\)
a) Xét : \(\Delta ADHvà\Delta CBK\) có :
góc : AHD = góc : CKB ( = 90 độ )
AD=BC ( ABCD là hbh )
góc ADH = góc CBK ( 2 góc ở vị trí slt tạo bởi 2 đường thẳng song song là AD và BC )
Do đó : \(\Delta ADH\text{=}\Delta CBK\left(c.h-g.n\right)\)
\(\Rightarrow AH\text{=}CK\)
Xét t/g AHCK có : AH//CK ( cùng vuông góc với BD )
AH = CK (cmt)
Suy ra : t/g AHCK là hbh.
b) Từ a) : suy ra : AHCK là hbh.
Suy ra : AC cắt HK tại trung điểm của mỗi đường.
Mà I là trung điểm của HK.
Suy ra : I cũng là trung điểm của AC.
Ta có : ABCD là hbh.
Suy ra : AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường .
Mà I là trung điểm của AC.
Suy ra : I cũng là trung điểm của BD.
Suy ra : IB=ID.