Cmr: \(\dfrac{a^2}{b^2}\)+\(\dfrac{b^2}{a^2}\)≥\(\dfrac{a}{b}\)+\(\dfrac{b}{a}\)
giúp mình với ạ
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
27 tháng 6 2021
a, Ta có : \(a^2+b^2\ge2ab\) ( cauchuy )
\(\Rightarrow a^2+2ab+b^2=\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Rightarrow\dfrac{a+b}{ab}=\dfrac{a}{ab}+\dfrac{b}{ab}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
b, Ta có : \(a^2+b^2\ge2ab\) ( cauchuy )
\(\Rightarrow ab\le\dfrac{a^2+b^2}{2}\)
30 tháng 12 2020
2: Ta có: \(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}=\dfrac{a\left(a+b+c\right)}{b+c}+\dfrac{b\left(a+b+c\right)}{c+a}+\dfrac{c\left(a+b+c\right)}{a+b}-a-b-c=\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)=a+b+c-a-b-c=0\)
30 tháng 12 2020
1: Sửa đề: Cho \(x,y,z\ne0\) và \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{2}{2x+y+2z}\).
CM:....
Đặt 2x = x', 2z = z'.
Ta có: \(\dfrac{2}{x'}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{2}{z'}=\dfrac{2}{x'+y+z'}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x'}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z'}=\dfrac{1}{x'+y+z'}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x'}-\dfrac{1}{x'+y+z'}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z'}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{y+z'}{x'\left(x'+y+z'\right)}+\dfrac{y+z'}{yz'}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(y+z'\right)\left(yz'+x'^2+x'y+x'z'\right)}{x'yz'\left(x'+y+z'\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x'+y\right)\left(y+z'\right)\left(z'+x'\right)}{x'yz'\left(x'+y+z'\right)}=0\Leftrightarrow\left(2x+y\right)\left(y+2z\right)\left(2z+2x\right)=0\Leftrightarrow\left(2x+y\right)\left(y+2z\right)\left(z+x\right)=0\left(đpcm\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 7 2021
Đặt vế trái BĐT là P
Ta có:
\(\left(\dfrac{a^3}{b+c}+\dfrac{b^3}{c+a}+\dfrac{c^3}{a+b}\right)\left(a\left(b+c\right)+b\left(c+a\right)+c\left(a+b\right)\right)\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\)
\(\Rightarrow P.\left(2ab+2bc+2ca\right)\ge1\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{1}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{1}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\dfrac{1}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 8 2021
Hằng đẳng thức:
\(\left(x-y-z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(yz-xy-zx\right)=x^2+y^2+z^2-2\left(xy+xz-yz\right)\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=\left(x-y-z\right)^2+2\left(xy+xz-yz\right)\)
Giờ thay \(x=\dfrac{1}{a}\) ; \(y=\dfrac{1}{b}\); \(z=\dfrac{1}{c}\) là ra cái người ta làm
18 tháng 11 2021
\(a,A=\dfrac{1}{2010}-\dfrac{1}{2009}-\dfrac{1}{2009}+\dfrac{1}{2008}-...-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}+1\\ A=1+\dfrac{1}{2010}=\dfrac{2011}{2010}\)
\(b,B=\left(-124\right)\left(63-37\right)+\dfrac{17}{66}\left(-66\right)=-124\cdot26+17=-3224+17=-3207\)
4 tháng 6 2021
\(\dfrac{1}{c}+b^2c=ab\left(a+b+c\right)+b^2c=ab\left(a+c\right)+b^2\left(a+c\right)=b\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)
\(\dfrac{1}{c}+a^2c=ab\left(a+b+c\right)+a^2c=a\left(a+b\right)\left(b+c\right)\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{1}{c}+b^2c\right)\left(\dfrac{1}{c}+a^2c\right)=ab\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)\left(a+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(1+b^2c^2\right)\left(1+a^2c^2\right)=c^2\left(a+b\right)^2ab\left(ab+bc+ac+c^2\right)\)\(=c^2\left(a+b\right)^2\left(a^2b^2+ab^2c+a^2bc+abc^2\right)\)\(=c^2\left(a+b\right)^2\left[a^2b^2+abc\left(a+b+c\right)\right]=c^2\left(a+b\right)^2\left(a^2b^2+1\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(1+b^2c^2\right)\left(1+a^2c^2\right)}{c^2\left(a^2b^2+1\right)}=\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{\left(1+b^2c^2\right)\left(1+a^2c^2\right)}{c^2+a^2b^2c^2}}=a+b\) (đpcm)
Nếu a và b khác dấu thì bđt hiển nhiên đúng vì 1 vế ≥0 và 1 vế ≤0
Nếu a và b cùng dấu => \(\dfrac{a^2}{b^2}\)+\(\dfrac{b^2}{a^2}\)<=>a4+b4≥ab3+a3b(nhân 2 vế với số dương ab)<=> a4+b4≥ab(a2+b2) (*)
ta có (x-y)2≥0 <=> x2+y2≥2xy <=> 2(x2+y2)≥ x2+2xy+y2=(x+y)2
áp dụng bđt trên
=> 2(a4+b4):2≥\(\dfrac{\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+b^2\right)}{2}\)≥\(\dfrac{2ab\left(a^2+b^2\right)}{2}\)(bđt cô si)<=>a4+b4≥ab3+a3b(đpcm)
mình nhầm: nhân 2 vế với a2b2