Question

[nhok họ Đinh]

 Chứng minh rằng :tích của 2 số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 8

                            tích của3 số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 48

                            tích của 4 số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 38

                            \(B=10^n+18n-1chiahetcho27\)

GIÚP MK NHANH NHA NHỚ KẾT BN NỮA , MÌNH TIC CHO

Answer 1

[Đào Trọng Luân]

a, TÍch hai số chẵn lt chia hết cho 8

Gọi hai số chẵn đó là 2a và 2a + 2 thì tích của chúng là:

2a[2a + 2] = 4a² + 4a = 4[a² + a] = 4[a[a+1]]

Mà a[a+1] là tích hai số nguyên liên tiếp nên chia hết cho hai và có dạng 2h

Vậy 2a[2a + 2] = 4.2h = 8h \(⋮8\)

Kết luận: ..................

b. Tích ba số chẵn lt chia hết cho 48

Gọi ba số chẵn lt là 2a, 2a+2 và 2a + 4 thì tích chúng là:

2a[2a + 2][2a + 4] = 8a[a+1][a+2]

Mà a[a + 1][a + 2] là tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3; lại có ít nhất 1 số chẵn nên chia hết cho 2. Mà ƯCLN của 3 và 2 là 1 nên a[a + 1][a + 2] chia hết cho 2.3 = 6 nên có dạng 6k

=> 2a[2a + 2][2a + 4] = 8.6k = 48k chia hết cho 48

Kết luận:....................

c. Tích 4 số chẵn liên tiếp chia hết cho 384

384=2⁷.3

Gọi 4 số chẵn lt là : 2a, 2a +2, 2a+4 và 2a+6

Tích chúng là:

2a[2a+2][2a+4][2a+6] = 16a[a+1][a+2][a+3]

                                = 2⁴.a[a+1][a+2][a+3]

Vậy bây giờ ta cần chứng minh a[a+1][a+2][a+3] chia hết cho 2³.3

Như chứng minh trên, a[a+1][a+2] luôn chia hết cho 3 nên a[a+1][a+2][a+3] cũng chia hết cho 3 

Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp thì chắc chắn có 2 số chẵn liên tiếp. Trong 2 số chẵn liên tiếp chắc chắn có 1 số chia hết cho 4, số còn lại chia hết cho 2 => tích 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 8.

Mà ƯCLN của 3 và 8 = 1 nên a[a+1][a+2][a+3] chia hết cho 24 hay 2³.3

Vậy 2a[2a+2][2a+4][2a+6] chia hết cho 384.

Kết luận:........................

d, D = 10ⁿ + 18n - 1 chia hết cho 27

D = 10ⁿ + 18n - 1 

= 10ⁿ - 1 + 18n

= 999...99 + 18n [n chữ số 9]

= 9.11....111 + 9.2n [n chữ số 1]

= 9 [11111...11 + 2n]

Vậy ta cần cm [11111...11 + 2n] chia hết cho 3

Nếu n chia hết cho 3 thì 11111...11 + 2n chia hết cho 3

Nếu n chia 3 dư 1 thì 1111...11 chia 3 dư 1; 2n chia 3 dư 2 => 11111...11 + 2n chia hết cho 3

Nếu n chia 3 dư 1 thì 1111...11 chia 3 dư 2; 2n chia 3 dư 1 => 11111...11 + 2n chia hết cho 3

Vậy 11111...11 + 2n chia hết cho 3 và có dạng 3k

=> 9 [11111...11 + 2n] = 9.3k = 27k chia hết cho 27

=> D = 10ⁿ + 18n - 1 chia hết cho 27 => ĐPCM