Tìm tất cả các cặp số nguyên \(\left(x;y\right)\) thỏa mãn phương trình: \(x^2-25=y\left(y+6\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
KN
1
18 tháng 8 2023
\(3x^2+3xy-17=7x-2y\)
\(\Leftrightarrow3x\left(x+y\right)+2x+2y-9x-17=0\)
\(\Leftrightarrow3x\left(x+y\right)+2\left(x+y\right)-9x-6-11=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(3x+2\right)-3\left(3x+2\right)=11\)
\(\Leftrightarrow\left(3x+2\right)\left(x+y-3\right)=11\)
\(\Leftrightarrow\left(3x+2\right);\left(x+y-3\right)\in\left\{-1;1;-11;11\right\}\)
\(\Leftrightarrow\left(x;y\right)\in\left\{\left(-1;-7\right);\left(-\dfrac{1}{3};\dfrac{43}{3}\right);\left(-\dfrac{11}{3};\dfrac{17}{3}\right);\left(3;1\right)\right\}\)
\(\Leftrightarrow\left(x;y\right)\in\left\{\left(-1;-7\right);\left(3;1\right)\right\}\left(x;y\inℤ\right)\)
TT
2
18 tháng 9 2021
\(y\left(x-1\right)=x^2+2\)
\(\Leftrightarrow x^2-xy+y+2=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(x-1\right)-y\left(x-1\right)+\left(x-1\right)+3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-y+1\right)=-3\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x-1=-1\\x-y+1=3\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x-1=3\\x-y+1=-1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x-1=1\\x-y+1=-3\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x-1=-3\\x-y+1=1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=-2\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=6\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=6\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=-2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
Vậy \(\left(x;y\right)\in\left\{\left(0;-2\right),\left(4;6\right),\left(2;6\right),\left(-2;-2\right)\right\}\)
18 tháng 9 2021
Ta có \(y\left(x-1\right)=x^2+2\)
\(\Leftrightarrow y\left(x-1\right)-x^2=2\)
\(\Leftrightarrow y\left(x-1\right)-x^2+1=3\)
\(\Leftrightarrow y\left(x-1\right)-\left(x^2-1\right)=3\)
\(\Leftrightarrow y\left(x-1\right)-\left(x-1\right)\left(x+1\right)=3\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(y-x-1\right)=3\)
Vì x,y nguyên nên ta có bảng
| x-1 | 3 | 1 | -1 | -3 |
| y-x-1 | 1 | 3 | -3 | -1 |
| x | 4 | 2 | 0 | -2 |
| y | 6 | 8 | 2 | 4 |
Vậy\(\left(x,y\right)=\left\{\left(4,6\right),\left(2,8\right),\left(0,2\right),\left(-2,4\right)\right\}\)thỏa mãn
27 tháng 3 2020
Bài 1 :
Phương trình <=> 2x . x2 = ( 3y + 1 ) 2 + 15
Vì \(\hept{\begin{cases}3y+1\equiv1\left(mod3\right)\\15\equiv0\left(mod3\right)\end{cases}\Rightarrow\left(3y+1\right)^2+15\equiv1\left(mod3\right)}\)
\(\Rightarrow2^x.x^2\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow x^2\equiv1\left(mod3\right)\)
( Vì số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1 )
\(\Rightarrow2^x\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow x\equiv2k\left(k\inℕ\right)\)
Vậy \(2^{2k}.\left(2k\right)^2-\left(3y+1\right)^2=15\Leftrightarrow\left(2^k.2.k-3y-1\right).\left(2^k.2k+3y+1\right)=15\)
Vì y ,k \(\inℕ\)nên 2k . 2k + 3y + 1 > 2k .2k - 3y-1>0
Vậy ta có các trường hợp:
\(+\hept{\begin{cases}2k.2k-3y-1=1\\2k.2k+3y+1=15\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2k.2k=8\\3y+1=7\end{cases}\Rightarrow}k\notinℕ\left(L\right)}\)
\(+,\hept{\begin{cases}2k.2k-3y-1=3\\2k.2k+3y+1=5\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2k.2k=4\\3y+1=1\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}k=1\\y=0\end{cases}\left(TM\right)}}\)
Vậy ( x ; y ) =( 2 ; 0 )
27 tháng 3 2020
Bài 3:
Giả sử \(5^p-2^p=a^m\) \(\left(a;m\inℕ,a,m\ge2\right)\)
Với \(p=2\Rightarrow a^m=21\left(l\right)\)
Với \(p=3\Rightarrow a^m=117\left(l\right)\)
Với \(p>3\)nên p lẻ, ta có
\(5^p-2^p=3\left(5^{p-1}+2.5^{p-2}+...+2^{p-1}\right)\Rightarrow5^p-2^p=3^k\left(1\right)\) \(\left(k\inℕ,k\ge2\right)\)
Mà \(5\equiv2\left(mod3\right)\Rightarrow5^x.2^{p-1-x}\equiv2^{p-1}\left(mod3\right),x=\overline{1,p-1}\)
\(\Rightarrow5^{p-1}+2.5^{p-2}+...+2^{p-1}\equiv p.2^{p-1}\left(mod3\right)\)
Vì p và \(2^{p-1}\)không chia hết cho 3 nên \(5^{p-1}+2.5^{p-2}+...+2^{p-1}⋮̸3\)
Do đó: \(5^p-2^p\ne3^k\), mâu thuẫn với (1). Suy ra giả sử là điều vô lý
\(\rightarrowĐPCM\)
23 tháng 12 2016
Mình gợi ý phần đầu nè. Xét \(x=0\) riêng được \(y=0\) hoặc \(y=1\).
Xét \(x\ne0\). Khi đó \(x\) và \(x^2+x+1\) nguyên tố cùng nhau với mọi \(x\) nguyên khác 0.
(Ở đây ta chỉ định nghĩa 2 số nguyên tố cùng nhau là 2 số có ước chung lớn nhất là 1 nên số âm vẫn được).
Để CM điều này ta gọi \(d=gcd\left(x^2+x+1,x\right)\) thì \(1⋮d\).
Vế trái là một số chia hết cho 4 nên trong 2 số \(x\) và \(x^2+x+1\) phải có một số chia hết cho 4
(Nếu mỗi số đều chia hết cho 2 thì không thể nguyên tố cùng nhau)
Trường hợp 1: \(x⋮4\) còn \(x^2+x+1\) lẻ.
Do \(y\) và \(y-1\) có 1 số chẵn và 1 số lẻ nên số chẵn sẽ là ước của \(x\) còn số lẻ là ước của \(x^2+x+1\).
Tức là có 2 trường hợp: \(x=4y\) và \(x=4\left(y-1\right)\).
Trường hợp 2 ngược lại.
Tới đây bạn tự giải được nha.
23 tháng 12 2016
\(x\left[1+x+x^2\right]=4y\left[y-1\right]\)
\(\Leftrightarrow x^3+x^2-4y^2+x+4y=0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left[x+1\right]+x-4y^2+4y=0\)
\(\Leftrightarrow\Delta=b^2-4ac=1-16xy+16xy^2-16y+16y^2\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x1=\frac{-1+\sqrt{1-16xy+16xy^2-16y+16y^2}}{2x+2}\\x2=\frac{-1-\sqrt{1-16xy+16xy^2-16y+16y^2}}{2x+2}\end{cases}}\)
đến đây tự làm tiếp nhé
3 tháng 1 2020
Ta có \(\left(x+y\right)^3=\left(x-y-6\right)^2\left(1\right)\)
Vì x,y nguyên dương nên
\(\left(x+y\right)^3>\left(x+y\right)^2\)kết hợp (1) ta được:
\(\left(x-y-6\right)^2>\left(x+y\right)^2\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-\left(x-y-6\right)^2< 0\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(y+3\right)< 0\)
Mà y+3 >0 (do y>0)\(\Rightarrow x-3< 0\Leftrightarrow x< 3\)
mà \(x\inℤ^+\)\(\Rightarrow x\in\left\{1;2\right\}\)
*x=1 thay vào (1) ta có:
\(\left(1+y\right)^3=\left(1-y-6\right)^2\Leftrightarrow y^3+3y^2+3y+1=y^2+10y+25\Leftrightarrow\left(y-3\right)\left(y^2+5y+8\right)=0\)
mà \(y^2+5y+8=\left(y+\frac{5}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\ge\frac{7}{4}>0\)
\(\Rightarrow y-3=0\Leftrightarrow y=3\inℤ^+\)
*y=2 thay vào (1) ta được:
\(\left(2+y\right)^3=\left(2-y-6\right)^2\Leftrightarrow y^3+6y^2+12y+8=y^2+8y+16\Leftrightarrow y^3+5y^2+4y-8=0\)
Sau đó cm pt trên không có nghiệm nguyên dương.
Vậy x=1;y=3
22 tháng 4 2018
2,Giải:
♣ Ta thấy p = 2 thì 2p + 1 = 5 không thỏa = n³
♣ Nếu p > 2 => p lẻ (Do Số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 )
Mặt khác : 2p + 1 là 1 số lẻ => n³ là một số lẻ => n là một số lẻ
=> 2p + 1 = (2k + 1)³ ( với n = 2k + 1 )
<=> 2p + 1 = 8k³ + 12k² + 6k + 1
<=> p = k(4k² + 6k + 3)
=> p chia hết cho k
=> k là ước số của số nguyên tố p.
Do p là số nguyên tố nên k = 1 hoặc k = p
♫ Khi k = 1
=> p = (4.1² + 6.1 + 3) = 13 (nhận)
♫ Khi k = p
=> (4k² + 6k + 3) = (4p² + 6p + 3) = 1
Do p > 2 => (4p² + 6p + 3) > 2 > 1
=> không có giá trị p nào thỏa.
Đáp số : p = 13
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
16 tháng 5 2021
\(\left(x+y+1\right)\left(xy+x+y\right)=5+2\left(x+y\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+1\right)\left(xy+x+y\right)=3+2\left(x+y+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+1\right)\left(xy+x+y-2\right)=3\)
Từ đây bạn xét các trường hợp và giải ra nghiệm.
\(x^2-25=y\left(y+6\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2-25=y^2+6y\)
\(\Leftrightarrow x^2-25-y^2-6y=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-\left(y^2+6y+9\right)-16=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-\left(y+3\right)^2=16\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+3\right)\left(x-y-3\right)=16\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+3\right);\left(x-y-3\right)\in\left\{-1;1;-2;2;-4;4;-8;8;-16;16\right\}\)
Ta giải các hệ phương trình sau :
1) \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+3=-1\\x-y-3=-16\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-4\\x-y=-15\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=-11\left(loại\right)\\x-y=-15\end{matrix}\right.\)
2) \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+3=1\\x-y-3=16\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-2\\x-y=19\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=17\left(loại\right)\\x-y=19\end{matrix}\right.\)
3) \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+3=2\\x-y-3=8\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-1\\x-y=11\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=10\\x-y=11\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=5\\y=-6\end{matrix}\right.\)
4) \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+3=-2\\x-y-3=-8\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-5\\x-y=-5\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=-10\\x-y=-5\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-5\\y=0\end{matrix}\right.\)
5) \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+3=-4\\x-y-3=-4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-7\\x-y=-1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=-6\\x-y=-1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-2\end{matrix}\right.\)
6) \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+3=4\\x-y-3=4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=1\\x-y=7\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=8\\x-y=7\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=-3\end{matrix}\right.\)
7) \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+3=-8\\x-y-3=-2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-11\\x-y=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=-10\\x-y=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-5\\y=-6\end{matrix}\right.\)
8) \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+3=8\\x-y-3=2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=5\\x-y=5\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=10\\x-y=5\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=5\\y=0\end{matrix}\right.\)
9) \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+3=-16\\x-y-3=-1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-19\\x-y=2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=-17\left(loại\right)\\x-y=2\end{matrix}\right.\)
10) \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+3=16\\x-y-3=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=15\\x-y=4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=19\left(loại\right)\\x-y=4\end{matrix}\right.\)
Vậy \(\left(x;y\right)\in\left\{\left(5;-6\right);\left(-5;0\right);\left(-3;-2\right);\left(4;-3\right);\left(-5;-6\right);\left(5;0\right)\right\}\)