Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Biết tam giác SAD vuông cân tại \(S\) và \((SAD) \bot (ABCD)\).
a) Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.
b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đáp án B
Phương pháp:
Xác định góc giữa hai mặt phẳng (α;β)
- Tìm giao tuyến Δ của (α;β)
- Xác định 1 mặt phẳng γ ⊥ Δ
- Tìm các giao tuyến a = α∩γ, b = β ∩ γ
- Góc giữa hai mặt phẳng (α;β):(α;β) = (a;b)
Cách giải:
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD.
Tam giác SAB cân tại S ⇒ SI ⊥ AB
Vì mặt bên SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD) nên SI ⊥ (ABCD)
Chọn đáp án C
Ta có
⇒ A C là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD)
Lại có ABCD là hình vuông cạnh a nên A C = a 2
Tam giác SAC vuông tại A nên S A = A C . tan S C A ⏜ = a 6
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là V A B C D = a 3 6 3 (đvtt).
Lời giải:
Vì $(SAB), (SAD)$ cùng vuông góc với $(ABCD)$ mà $(SAB)\cap (SAD)\equiv SA$ nên $SA\perp (ABCD)$
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp CB$
Mà: $AB\perp CB$
$\Rightarrow CB\perp (SAB)$
$\Rightarrow \angle (SC,(ABCD))=\angle (SC, SB)=\angle CSB=45^0$
$\Rightarrow SB=CB=a$
$SA=\sqrt{SB^2-AB^2}=\sqrt{a^2-a^2}=0$ (vô lý)
Gọi M là trung điểm của AD. Suy ra SM vuông góc mặt phẳng (ABCD).
a, Vì tam giác SAD là tam giác vuông cân
\(\Rightarrow SA=SD=\dfrac{a}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}a\)
\(\Rightarrow SM=\sqrt{SA^2-AM^2}=\dfrac{1}{2}a\)
\(\Rightarrow V_{S.ABCD}=SM.S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}a.a^2=\dfrac{1}{2}a^3\)
b, Qua M dựng đường thẳng MN song song với AB cắt BC tại N. Dựng MH vuông góc với SN.
Dễ dàng nhận thấy BC vuông góc với (SMN) do \(SM\perp BC;MN\perp BC\)
\(\Rightarrow MH\perp BC\)
mà \(MH\perp SN\Rightarrow MH\perp\left(SBC\right)\Rightarrow MH\perp SC\)
Hay MH chính là khoảng cách giữa AD và SC (Do cùng vuông góc)
Ta có: \(\dfrac{1}{MH^2}=\dfrac{1}{SM^2}+\dfrac{1}{MN^2}\Rightarrow\dfrac{1}{MH^2}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}a^2}+\dfrac{1}{a^2}=\dfrac{5}{a^2}\Rightarrow MH=\dfrac{\sqrt{5}}{5}a\)