Question

[Nguyễn Thị Lê Na]

Cho tam giác ABC  vuông tại A . Dường trung tuyến  AM . Chứng minh  rằng BM = CM = AM

Answer 1

[Lê Song Phương]

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho \(MD=MA\). Khi đó xét 2 tam giác MAB và MDC, ta có \(MA=MD\) (cách vẽ), \(\widehat{AMB}=\widehat{DMC}\) và \(MB=MC\) (do AM là đường trung tuyến của tam giác ABC)

\(\Rightarrow\Delta MAB=\Delta MDC\left(c.g.c\right)\) \(\Rightarrow\widehat{MAB}=\widehat{MDC}\) \(\Rightarrow AB//CD\). Mà \(AB\perp AC\) nên \(AC\perp CD\) hay \(\widehat{ACD}=90^o\)

Đồng thời ta cũng có \(AB=CD\)

Xét 2 tam giác ABC và CDA, có AC là cạnh chung, \(\widehat{BAC}=\widehat{DCA}\left(=90^o\right)\) và \(AB=CD\left(cmt\right)\), suy ra  \(\Delta ABC=\Delta CDA\left(c.g.c\right)\) \(\Rightarrow BC=AD\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}AD\) \(\Rightarrow MB=MA\)

Từ đó ta có \(MA=MB=MC=MD\), suy ra đpcm.