Cho \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\)
CMR: \(\frac{1}{x^5}+\frac{1}{y^5}+\frac{1}{z^5}=\frac{1}{x^5+y^5+z^5}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
25 tháng 3 2018
Bài 1 :
Ta có :
\(A=\frac{\frac{3}{4}-\frac{3}{11}+\frac{3}{13}}{\frac{5}{7}-\frac{5}{11}+\frac{5}{13}}+\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}{\frac{5}{4}-\frac{5}{6}+\frac{5}{8}}\)
\(A=\frac{3\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{11}+\frac{1}{13}\right)}{5\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{11}+\frac{1}{13}\right)}+\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}{\frac{5}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)}\)
\(A=\frac{3}{5}+\frac{1}{\frac{5}{2}}\)
\(A=\frac{3}{5}+\frac{2}{5}\)
\(A=1\)
\(b)\) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\frac{y+z-x}{x}=\frac{z+x-y}{y}=\frac{x+y-z}{z}=\frac{y+z-x+z+x-y+x+y-z}{x+y+z}=\frac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}=2\)
Đo đó :
\(\frac{y+z-x}{x}=2\)\(\Rightarrow\)\(y+z=3x\)\(\left(1\right)\)
\(\frac{z+x-y}{y}=2\)\(\Rightarrow\)\(x+z=3y\)\(\left(2\right)\)
\(\frac{x+y-z}{z}=2\)\(\Rightarrow\)\(x+y=3z\)\(\left(3\right)\)
Lại có : \(B=\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)=\frac{x+y}{y}.\frac{y+z}{z}.\frac{x+z}{x}\)
Thay (1), (2) và (3) vào \(B=\frac{x+y}{y}.\frac{y+z}{z}.\frac{x+z}{x}\) ta được :
\(B=\frac{2z}{y}.\frac{2x}{z}.\frac{2y}{x}=\frac{8xyz}{xyz}=8\)
Vậy \(B=8\)
Chúc bạn học tốt ~
DT
25 tháng 3 2018
bạn phùng minh quân câu 1 a tại sao lại rút gọn được \(\frac{3.\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{11}+\frac{1}{13}\right)}{5\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{11}+\frac{1}{13}\right)}=\frac{3}{5}\) vậy nó không cùng nhân tử mà
câu b \(\frac{y+z-x+z+x-y+x+y-z}{x+y+z}=\frac{\left(y-y+y\right)+\left(-x+x+x\right)+\left(z+z-z\right)}{x+y+z}=\frac{x+y+z}{x+y+z}=1\)sao lại ra bằng 2
(mình chỉ góp ý thôi nha tại mình làm thấy nó sai sai)
LN
1
21 tháng 11 2017
Nhẩm nghiệm ta thấy: a+b+c=3 \(\Rightarrow\)a=b=c=1 (1)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
\(x^5+y^5+z^5+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\ge6\sqrt[6]{\frac{x^5y^5z^5}{xyz}}=6\sqrt[6]{x^4y^4z^4}\)
Hay: \(6\sqrt[6]{x^4y^4z^4}\ge6\)
\(\Leftrightarrow\sqrt[6]{x^4y^4z^4}=1\Leftrightarrow x^4y^4z^4=1\Leftrightarrow xyz=1\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: x=y=z=1
HP
Cho x,y,z>0; \(x^2+y^2+z^3=\frac{5}{3}\)
CMR: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z}\le\frac{1}{xyz}\)
3
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 11 2019
a/ \(\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+2}}+\left(x+1\right)\left(\sqrt{1+\frac{2x+1}{x^2+2}}-1\right)+2x+1=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+2}}+\frac{\left(x+1\right)\left(2x+1\right)}{\sqrt{1+\frac{2x+1}{x^2+2}}+1}+2x+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+2}}+\frac{x+1}{\sqrt{1+\frac{2x+1}{x^2+2}}+1}+1\right)=0\)
\(\Rightarrow x=-\frac{1}{2}\)
b/ \(Q\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{xyz\left(x+y+z\right)}+\frac{\left(x^3+y^3+z^3\right)^2}{xy+yz+zx}\ge\frac{x+y+z}{xyz}+\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^3}{\left(x+y+z\right)^2}\)
\(Q\ge\frac{27\left(x+y+z\right)}{\left(x+y+z\right)^3}+\frac{\left(x+y+z\right)^6}{27\left(x+y+z\right)^2}=\frac{27}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{\left(x+y+z\right)^4}{27}\)
\(Q\ge\frac{27}{64\left(x+y+z\right)^2}+\frac{27}{64\left(x+y+z\right)^2}+\frac{\left(x+y+z\right)^4}{27}+\frac{837}{32\left(x+y+z\right)^2}\)
\(Q\ge3\sqrt[3]{\frac{27^2\left(x+y+z\right)^4}{64^2.27\left(x+y+z\right)^4}}+\frac{837}{32.\left(\frac{3}{2}\right)^2}=\frac{195}{16}\)
"=" \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2}\)
23 tháng 11 2019
Nguyễn Trúc Giang, Duy Khang, Vũ Minh Tuấn, Võ Hồng Phúc, tth, No choice teen, Phạm Lan Hương,
Nguyễn Lê Phước Thịnh, @Nguyễn Việt Lâm, @Akai Haruma
giúp em vs ạ! Cần trước 5h chiều nay ạ
Thanks nhiều
24 tháng 2 2019
\(\text{Ta có:}\)
\(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\left(x,y,z>0\right)\ge\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}\ge\frac{3}{\frac{x+y+z}{3}}=\frac{9}{x+y+z}\)
\(\frac{y+z+5}{1+x}+\frac{z+x+5}{1+y}+\frac{x+y+5}{1+z}\)
\(=\frac{x+y+z+6}{1+x}+\frac{x+y+z+6}{1+y}+\frac{x+y+z+6}{1+z}-3\)
\(=\frac{24}{1+x}+\frac{24}{1+y}+\frac{24}{1+z}-3\ge\frac{51}{7}\Leftrightarrow\frac{24}{1+x}+\frac{24}{1+y}+\frac{24}{1+z}\ge\frac{72}{7}\)
\(24\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\ge24\left(\frac{9}{x+1+y+1+z+1}\right)\)
\(=24\left(\frac{9}{21}\right)=\frac{24.9}{21}=\frac{8.9}{7}=\frac{72}{7}\)
Bài toán đã được chứng minh
24 tháng 2 2019
\(\text{Thêm dấu "=" xảy ra khi: x=y=z=6 nha! =((}\)
1 tháng 12 2016
ta co : a+b+c=bc+ac+ab/abc
=a+b+c=bc+ac+ab (vi abc=1)
ta co : (a-1).(b-1).(c-1)
=(ab-a-b+1).(c-1)
=abc-ab-ac+a-bc+b+c-1
=(abc-1)+(a+b+c)-(ab+ac+bc)
=(1-1)+(bc+ac+ab)-(ab+ac+bc)
=0
do (a-1).(b-1).(c-1)=0 (cmt)
=>a=b=c=1
thay vao p
=>p=(1^19-1).(1^5-1).(1^1890-1)
=(1-1).(1-1).(1-1)
0
Tớ nhầm a,b,c với x,y,z nhe
thông cảm bệnh nghề nghiệp
p=0 là đúng đấy
nhớ cho tớ nhé
hí hí hí hí hí ................
Áp dụng BĐT Cauchy dạng Engel , ta được
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^3}{x+y+z}=\frac{1}{x+y+z}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{1}{x}=\frac{1}{y}=\frac{1}{z}\) => \(x=y=z\).(*)
Áp dụng BĐT Cauchy dạng Engel , ta được : \(\frac{1}{x^5}+\frac{1}{y^5}+\frac{1}{z^5}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^3}{x^5+y^5+z^5}\) \(=\frac{1}{x^5+y^5+z^5}\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z ( đã có ở (*) )
Vậy \(\frac{1}{x^5}+\frac{1}{y^5}+\frac{1}{z^5}=\frac{1}{x^5+y^5+z^5}\) ( đpcm) với x=y=z
Bài này gần giống câu hỏi số 965642 bn xem đi nhé