Đường chéo \(AC\) chia tứ giác \(ABCD\) thành hai tam giác \(ACB\) và \(ACD\) (Hình 7). Tính tổng các góc của tam giác \(ACB\) và tam giác \(ACD\). Từ đó, ta có nhận xét gì về tổng các góc của tứ giác \(ABCD\) .
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1/ Xét tam giác ABE và CDF có:
\(\widehat{AEB}=\widehat{CFD}=90^o\)
AB = CD (Hai cạnh đối của hình bình hành)
\(\widehat{BAE}=\widehat{DCF}\) (So le trong)
nên \(\Delta ABE=\Delta CDF\) (Cạnh huyền - góc nhọn)
\(\Rightarrow BE=DF\)
Lại có BE và DF cùng vuông góc với AC nên BE // DF
Xét tứ giác BEDF có BE // DF và BE = DF nên BEDF là hình bình hành,
2/ Ta có do BC// AD nên \(\widehat{HBC}=\widehat{BAD}\) (Hai góc đồng vị)
Dó AB// CD nên \(\widehat{KDC}=\widehat{BAD}\) (Hai góc đồng vị)
Vậy nên \(\widehat{KDC}=\widehat{HBC}\)
Suy ra \(\Delta CHB\sim\Delta CKD\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{CH}{CK}=\frac{CB}{CD}\Rightarrow\frac{CH}{CK}=\frac{CB}{AB}\)
Theo tính chất góc ngoài, ta có \(\widehat{ABC}=\widehat{BHC}+\widehat{HCB}=90^o+\widehat{HCB}\)
Do BC // AD; \(CK\perp AD\Rightarrow CK\perp BC\)
Suy ra \(\widehat{KCH}=\widehat{KCB}+\widehat{HCB}=90^o+\widehat{HCB}\)
Vậy \(\widehat{ABC}=\widehat{KCH}\)
Xét tam giác ABC và KCH có:
\(\widehat{ABC}=\widehat{KCH}\)
\(\frac{CH}{CK}=\frac{CB}{AB}\)
nên \(\Delta ABC\sim\Delta KCH\left(c-g-c\right)\)
*) Ta có \(\Delta ABE\sim\Delta ACH\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AH}\Rightarrow AB.AH=AC.AE\)
Tương tự \(\Delta AFD\sim\Delta AKC\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AF}{AK}=\frac{AD}{AC}\Rightarrow AD.AK=AC.AF\)
Suy ra \(AB.AH+AD.AK=AC.AE+AC.AF=AC\left(AE+AF\right)\)
Theo câu a, \(\Delta ABE=\Delta CDF\Rightarrow AE=CF\)
Vậy thì AE + AF = CF + AF = AC
Hay AB.AH + AD.AK = AC.AC = AC2
Xét \(\Delta ABC\) ta có:
\(\widehat B + \widehat {BAC} + \widehat {BCA} = 180^\circ \) (tính chất tổng ba góc trong tam giác)
Xét \(\Delta DAC\) ta có:
\(\widehat D + \widehat {DAC} + \widehat {DCA} = 180^\circ \)
Ta có:
\(\widehat B + \widehat {BAC} + \widehat {BCA} + \widehat D + \widehat {DAC} + \widehat {DCA} = 180^\circ + 180^\circ \)
\(\widehat B + \widehat D + \left( {\widehat {BAC} + \widehat {DAC}} \right) + \left( {\widehat {BCA} + \widehat {DCA}} \right) = 360^\circ \)
\(\widehat B + \widehat D + \widehat {BAD} + \widehat {BCD} = 360^\circ \)
Vậy tổng các góc của tứ giác \(ABCD\) bằng \(360^\circ \)