Ai giải giúp em với ạ
Cho các số 0 <=a, b, c <=1. Chứng minh rằng a + b2 + c3 - ab - bc- ca <=1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 3 2023
Đặt \(x=\sqrt{\dfrac{a}{bc}}\) ; \(y=\sqrt{\dfrac{b}{ca}}\) ; \(z=\sqrt{\dfrac{c}{ab}}\)
\(\Rightarrow a=\dfrac{1}{yz}\) ; \(b=\dfrac{1}{zx}\) ; \(c=\dfrac{1}{xy}\)
\(\Rightarrow xy+yz+zx=1\)
Khi đó, tồn tại một tam giác ABC sao cho:
\(x=tan\dfrac{A}{2}\) ; \(y=tan\dfrac{B}{2}\) ; \(z=tan\dfrac{C}{2}\)
Thay vào bài toán:
\(A=\dfrac{x^2}{1+x^2}+\sqrt{3}\left(\dfrac{y^2}{1+y^2}+\dfrac{z^2}{1+z^2}\right)\)
\(=\dfrac{tan^2\dfrac{A}{2}}{1+tan^2\dfrac{A}{2}}+\sqrt{3}\left(\dfrac{tan^2\dfrac{B}{2}}{1+tan^2\dfrac{B}{2}}+\dfrac{tan^2\dfrac{C}{2}}{1+tan^2\dfrac{C}{2}}\right)\)
\(=sin^2\dfrac{A}{2}+\sqrt{3}\left(sin^2\dfrac{B}{2}+sin^2\dfrac{C}{2}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}cosA+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(2-cosB-cosC\right)\)
\(=\dfrac{1+2\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}\left(cosA+\sqrt{3}cosB+\sqrt{3}cosC\right)\)
Xét \(B=cosA+\sqrt{3}\left(cosB+cosC\right)=cosA+2\sqrt{3}cos\dfrac{B+C}{2}cos\dfrac{B-C}{2}\)
\(\le cosA+2\sqrt{3}cos\dfrac{B+C}{2}=-2sin^2\dfrac{A}{2}+2\sqrt{3}sin\dfrac{A}{2}+1\)
Xét hàm \(f\left(t\right)=-2t^2+2\sqrt{3}sint+1\) với \(t\in\left(0;1\right)\)
\(f'\left(t\right)=-4t+2\sqrt{3}=0\Rightarrow t=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(f\left(0\right)=1\) ; \(f\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\dfrac{5}{2}\) ; \(f\left(1\right)=2\sqrt{3}-1\)
\(\Rightarrow B_{max}=\dfrac{5}{2}\)
\(\Rightarrow A\ge\dfrac{1+2\sqrt{3}}{2}-\dfrac{5}{4}=\dfrac{4\sqrt{3}-3}{4}\)
28 tháng 7 2021
https://tuhoc365.vn/qa/cho-bieu-thuc-p-a4-b4-ab-voi-ab-la-cac-so-thuc-thoa-man-a2-b2-ab-3-tim-gia-tri-lon/
Bạn có thể tham khảo ở đây nha.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 7 2021
Đường tròn (C) tâm \(I\left(1;-2\right)\) bán kính \(R=3\)
Ảnh của đường tròn (C) là đường tròn (C') có tâm \(I'\left(x';y'\right)\) là ảnh của I qua phép tịnh tiến \(\overrightarrow{v}\) và bán kính \(R'=R=3\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x'=-3+1=-2\\y'=1-2=-1\end{matrix}\right.\)
Phương trình (C'):
\(\left(x+2\right)^2+\left(y+1\right)^2=9\)
15 tháng 4 2023
a: Xét ΔABC có
BE,CF là đường cao
BE cắt CF tại H
=>H là trực tâm
=>AH vuông góc BC tại D
b: Xét ΔCDA vuông tại D và ΔCEB vuông tại E có
góc BCE chung
=>ΔCDA đồng dạng với ΔCEB
=>CD/CE=CA/CB
=>CD*CB=CE*CA
8 tháng 12 2023
c: y=(m-1)x+4
=>\(\left(m-1\right)x-y+4=0\)
Khoảng cách từ O(0;0) đến (d) là:
\(d\left(O;\left(d\right)\right)=\dfrac{\left|0\cdot\left(m-1\right)+0\cdot\left(-1\right)+4\right|}{\sqrt{\left(m-1\right)^2+\left(-1\right)^2}}=\dfrac{4}{\sqrt{\left(m-1\right)^2+1}}\)
Để \(d\left(O;\left(d\right)\right)=2\) thì \(\dfrac{4}{\sqrt{\left(m-1\right)^2+1}}=2\)
=>\(\sqrt{\left(m-1\right)^2+1}=2\)
=>\(\left(m-1\right)^2+1=4\)
=>\(\left(m-1\right)^2=3\)
=>\(m-1=\pm\sqrt{3}\)
=>\(m=\pm\sqrt{3}+1\)
Vì \(0\le a,b,c\le1\)nên ta có \(1-a>0,1-b>0,1-c>0\)\(\Rightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge0\Leftrightarrow1-\left(a+b+c\right)+\left(ab+ac+bc\right)-abc\ge0\)
\(\Leftrightarrow1\ge a+b+c-\left(ac+bc+ab\right)+abc\left(1\right)\)
Mặt khác vì \(0\le a,b,c\le1\Rightarrow b\ge b^2;c\ge c^3;abc\ge0\left(2\right)\)
Từ 1,2 có : \(a+b^2+c^3-\left(ab+ac+bc\right)\le1\)
dấu \(\left(a,b,c\right)\)là hoán vị của \(\left(0,1,1\right)\)